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1、希爾伯特的23個問題郁佩1.連續(xù)統(tǒng)假設(shè)1)康托的連續(xù)統(tǒng)假設(shè)問題。1874年,康托猜測在可數(shù)集基數(shù)和實數(shù)集基數(shù)之間沒有別的基數(shù),即著名的連續(xù)統(tǒng)假設(shè)。1963年,美國數(shù)學(xué)家科思證明連續(xù)統(tǒng)假設(shè)與ZF公理彼此獨立。因而,連續(xù)統(tǒng)假設(shè)不能用ZF公理加以證明。2.算術(shù)公理的相容性算術(shù)公理的相容性哥德爾在1931年證明了希爾伯特關(guān)于算術(shù)公理化相容性的“元數(shù)學(xué)”綱領(lǐng)不可能實現(xiàn)。3.兩等底等高四面體體積之相等只根據(jù)合同公理證明等底等高的兩個四面體有相等之體積是不可能的。問題的意思是:存在兩個等高等底的四面體,它們不可能分解為有限個小四面體,使這兩組四面體彼此全等德思1900年已解決。4直
2、線為兩點間的最短距離此問題提的一般。滿足此性質(zhì)的幾何很多,因而需要加以某些限制條件。1973年,蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家波格列洛夫宣布,在對稱距離情況下,問題獲解決。5.拓撲學(xué)成為李群的條件(拓撲群)這一個問題簡稱連續(xù)群的解析性,即是否每一個局部歐氏群都一定是李群。1952年,由格里森、蒙哥馬利、齊賓共同解決。1953年,日本的山邁英彥已得到完全肯定的結(jié)果。6.物理公理的數(shù)學(xué)處理1933年,蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫?qū)⒏怕收摴砘:髞?,在量子力學(xué)、量子場論方面取得成功。7.某些數(shù)的無理性和超越性需證:如果α是代數(shù)數(shù),β是無理數(shù)的代數(shù)數(shù),那么αβ一定是超越數(shù)或至少是無理數(shù)。蘇聯(lián)的蓋爾封特1
3、929年、德國的施奈德及西格爾1935年分別獨立地證明了其正確性。但超越數(shù)理論還遠未完成。目前,確定所給的數(shù)是否超越數(shù),尚無統(tǒng)一的方法。8.素數(shù)問題素數(shù)分布問題,尤其對黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孿生素共問題。素數(shù)是一個很古老的研究領(lǐng)域。希爾伯特在此提到黎曼猜想、哥德巴赫猜想以及孿生素數(shù)問題。黎曼猜想至今未解決。9.任意數(shù)域中最一般互反律的證明1921年由日本的高木貞治,1927年由德國的阿廷各自給以基本解決。而類域理論至今還在發(fā)展之中。10.丟番圖方程可解性判別1970年,蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家馬蒂塞維奇最終證明:不存在判定任一給定丟番圖方程有無整數(shù)解的一般算法。11.一般代數(shù)數(shù)域內(nèi)
4、的二次型論12.類域的構(gòu)成問題11.德國數(shù)學(xué)家哈塞和西格爾在20年代獲重要結(jié)果。60年代,法國數(shù)學(xué)家魏依取得了新進展。12.即將阿貝爾域上的克羅內(nèi)克定理推廣到任意的代數(shù)有理域上去。此問題僅有一些零星結(jié)果,離徹底解決還很遠。13.不可能用僅有兩個變數(shù)的函數(shù)解一般的七次方程七次方程x7+ax3+bx2+cx+1=0的根依賴于3個參數(shù)a、b、c;x=x(a,b,c)。這一函數(shù)能否用兩變量函數(shù)表示出來?1957年,蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家德阿諾爾解決了這個問題。14.證明某類完全函數(shù)系的有限性域K上的以x1,x2,…,xn為自變量的多項式fi(i=1,…,m),R為K〔X1,…,Xm]上的有
5、理函數(shù)F(X1,…,Xm)構(gòu)成的環(huán),并且F(f1,…,fm)∈K[x1,…,xm]試問R是否可由有限個元素F1,…,F(xiàn)N的多項式生成?這個與代數(shù)不變量問題有關(guān)的問題,日本數(shù)學(xué)家永田雅宜于1959年用漂亮的反例給出了否定的解決。15.舒伯特計數(shù)演算的嚴格基礎(chǔ)一個典型的問題是:在三維空間中有四條直線,問有幾條直線能和這四條直線都相交?舒伯特給出了一個直觀的解法。希爾伯特要求將問題一般化,并給以嚴格基礎(chǔ)?,F(xiàn)在已有了一些可計算的方法,它和代數(shù)幾何學(xué)有密切的關(guān)系。但嚴格的基礎(chǔ)至今仍未建立。16.代數(shù)曲線和曲面的拓撲研究有很多重要的結(jié)果1957年,中國數(shù)學(xué)家秦元勛和蒲富金具體給出了n
6、=2的方程具有至少3個成串極限環(huán)的實例。1978年,中國的史松齡在秦元勛、華羅庚的指導(dǎo)下,與王明淑分別舉出至少有4個極限環(huán)的具體例子。1983年,秦元勛進一步證明了二次系統(tǒng)最多有4個極限環(huán),并且是(1,3)結(jié)構(gòu),從而最終地解決了二次微分方程的解的結(jié)構(gòu)問題,并為研究希爾伯特第(16)問題提供了新的途徑。17.半正定形式的平方和表示實系數(shù)有理函數(shù)f(x1,…,xn)對任意數(shù)組(x1,…,xn)都恒大于或等于0,確定f是否都能寫成有理函數(shù)的平方和?1927年阿廷已肯定地解決。18.由全等多面體的構(gòu)造空間德國數(shù)學(xué)家比貝爾巴赫1910年,萊因哈特1928年作出部分解決19.正則變
7、分問題的解是否總是解析函數(shù)?德國數(shù)學(xué)家伯恩斯坦(1929)和蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家彼德羅夫斯基(1939)已解決20.研究一般邊值問題。此問題進展迅速,己成為一個很大的數(shù)學(xué)分支。日前還在繼讀發(fā)展。21.具有給定單值群的微分方程的存在性此問題屬線性常微分方程的大范圍理論。希爾伯特本人于1905年、勒爾于1957年分別得出重要結(jié)果。1970年法國數(shù)學(xué)家德利涅作出了出色貢獻。22.解析函數(shù)的單值化此問題涉及艱深的黎曼曲面理論,1907年克伯對一個變量情形已解決而使問題的研究獲重要突破。其它方面尚未解決。23.發(fā)展變分學(xué)方法的研究這不是