第七章_美式期權(quán)定價(jià)(金融衍生品定價(jià)理論講義)

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1、第七章美式期權(quán)定價(jià)由于美式期權(quán)提前執(zhí)行的可能，使得解決最優(yōu)執(zhí)行決策成為美式期權(quán)定價(jià)和套期保值的關(guān)鍵。由第三章的內(nèi)容我們知道，如果標(biāo)的股票在期權(quán)的到期日之前不分紅，則美式看漲期權(quán)不會提前執(zhí)行，因?yàn)樵诘狡谌罩皥?zhí)行將損失執(zhí)行價(jià)格的利息。但是，如果標(biāo)的股票在期權(quán)到期日以前支付紅利，則提前執(zhí)行美式看漲期權(quán)可能是最優(yōu)的。提前執(zhí)行可以獲得股票支付的紅利，而紅利的收入超過利息損失。事實(shí)上，我們將證明，投資者總是在股票分紅前執(zhí)行美式看漲期權(quán)。對于美式看跌期權(quán)而言，問題變的更復(fù)雜。看跌期權(quán)的支付以執(zhí)行價(jià)格為上界，這限制了等待的價(jià)值，所以對于美式看跌期權(quán)而言，即使標(biāo)的股票不支付紅利，也可能

2、提前執(zhí)行。提前執(zhí)行可以獲得執(zhí)行價(jià)格的利息收入。許多金融證券都暗含著美式期權(quán)的特性，例如可回購債券（calledbond），可轉(zhuǎn)換債券（convertiblebond），假設(shè)：1．市場無摩擦2．無違約風(fēng)險(xiǎn)3．競爭的市場4．無套利機(jī)會1．帶息價(jià)格和除息價(jià)格每股股票在時(shí)間支付紅利元。當(dāng)股票支付紅利后，我們假設(shè)股價(jià)將下降，下降的規(guī)模為紅利的大小?？梢宰C明，當(dāng)市場無套利且在資本收益和紅利收入之間沒有稅收差別時(shí)，這個(gè)假設(shè)是成立的。這里表示股票在時(shí)間的帶息價(jià)格，表示股票在時(shí)間的除息價(jià)格。這個(gè)假設(shè)的證明是非常直接的。如果上述關(guān)系不成立，即，則存在套利機(jī)會。首先，如果，則以帶息價(jià)格賣出股

3、票，在股票分紅后馬上以除息價(jià)格買回股票。因?yàn)槲覀冑u空股票，所以紅利由賣空者支付，從而這個(gè)策略的利潤為。因?yàn)榧t利是確定知道的，所以只要=0，則利潤是沒有風(fēng)險(xiǎn)的。其次，如果，則以帶息價(jià)格買入股票，獲得紅利后以除息價(jià)格賣出，獲得利潤為。2．美式看漲期權(quán)在這一節(jié)，我們將證明，如果標(biāo)的股票在美式期權(quán)到期日之前分紅，則美式期權(quán)有可能提前執(zhí)行，而且，如果美式看漲期權(quán)提前執(zhí)行，則提前執(zhí)行只發(fā)生在分紅前瞬間。研究美式看漲期權(quán)提前執(zhí)行的關(guān)鍵是看漲期權(quán)的時(shí)間價(jià)值（timevalue）的概念。下面我們引入時(shí)間價(jià)值的概念并分析時(shí)間價(jià)值的性質(zhì)。符號：：美式期權(quán)在時(shí)間0的價(jià)格：歐式期權(quán)在時(shí)間0的價(jià)格

4、：標(biāo)的股票在時(shí)間0的價(jià)格：美式期權(quán)的到期日：美式期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格6：面值為1的債券在時(shí)間0的價(jià)格：括號內(nèi)現(xiàn)金流在時(shí)間0的現(xiàn)值考慮美式看漲期權(quán)這樣的執(zhí)行策略：在到期日，不管股票價(jià)格是否大于執(zhí)行價(jià)格，我們都執(zhí)行期權(quán)。(如果股票價(jià)格在到期日是虛值時(shí)，這個(gè)策略顯然不是最優(yōu)的，但在這個(gè)策略下美式看漲期權(quán)的現(xiàn)值是容易計(jì)算的)在這樣一個(gè)執(zhí)行策略下，美式期權(quán)等價(jià)于執(zhí)行價(jià)格為的遠(yuǎn)期合約，所以為美式看漲期權(quán)的目前值為=下面引入時(shí)間價(jià)值的概念。定義：以不支付紅利的股票為標(biāo)的物的美式看漲期權(quán)的時(shí)間價(jià)值為（1）直觀上來說，時(shí)間價(jià)值是由于等待以決定執(zhí)行期權(quán)而給期權(quán)合約帶來的價(jià)值增加值。因?yàn)樵诘狡谌眨?/p>

5、期權(quán)是虛值時(shí)可以不執(zhí)行，所以時(shí)間價(jià)值是非負(fù)的。因?yàn)椋?）所以（1）時(shí)間價(jià)值大于美歐式期權(quán)價(jià)格之差；（2）時(shí)間價(jià)值是非負(fù)的。下圖說明了看漲期權(quán)的時(shí)間價(jià)值作為股票價(jià)格的函數(shù)的性質(zhì)。下面我們我們考慮紅利的影響。為簡單起見，假設(shè)紅利的大小和支付時(shí)間都是已知的。我們先研究在期權(quán)的有效期之內(nèi)，提前執(zhí)行可能發(fā)生的時(shí)間。性質(zhì)：給定正的利率，在兩次分紅之間或者到期日之前執(zhí)行美式看漲期權(quán)不是最優(yōu)的。證明：考慮下圖0TodayEx-DividendDateMaturityofOption首先證明在時(shí)間之前不會執(zhí)行?？紤]兩種交易策略：策略1：馬上執(zhí)行期權(quán)。這個(gè)策略價(jià)值為策略2：等到分紅前瞬間執(zhí)

6、行，即使期權(quán)是虛值的。這個(gè)策略在時(shí)間的價(jià)值為，從而該策略在時(shí)間0的價(jià)值為策略2的價(jià)值大于策略1的價(jià)值，所以應(yīng)該等待。其次證明在分紅后和到期日之前的任何時(shí)間也不會執(zhí)行?？紤]兩種交易策略：策略1：在分紅后馬上執(zhí)行期權(quán)。這個(gè)策略在時(shí)間的價(jià)值為，策略2：等到到期日執(zhí)行，即使期權(quán)是虛值的。這個(gè)策略在時(shí)間的價(jià)值為，從而該策略在時(shí)間的價(jià)值為策略2的價(jià)值大于策略1的價(jià)值，所以應(yīng)該等待。如果期權(quán)的執(zhí)行不是發(fā)生在分紅前的瞬間，則會損失利息但不會有任何收入。提前執(zhí)行的唯一收入是獲取紅利，所以美式期權(quán)除了在分紅前的瞬間和到期日外，其余時(shí)間不會執(zhí)行。6下面討論在什么條件下會在分紅前瞬間提前執(zhí)行美

7、式看漲期權(quán)。我們通過比較分紅前瞬間執(zhí)行與不執(zhí)行美式看漲期權(quán)所獲得的收入來說明提前執(zhí)行美式看漲期權(quán)的條件。如果在分紅前的瞬間提前執(zhí)行，則期權(quán)的價(jià)值為如果不提前執(zhí)行，則期權(quán)的價(jià)值為。這個(gè)值是以股票的除息價(jià)為基礎(chǔ)的。這里是在到期日不管股票價(jià)格如何都執(zhí)行的期權(quán)這樣一個(gè)策略在時(shí)間的價(jià)值，是利用除息價(jià)來確定的。在分紅前瞬間執(zhí)行期權(quán)當(dāng)且僅當(dāng)執(zhí)行的價(jià)值大于不執(zhí)行的價(jià)值，即>即>（3）條件（3）說明，在時(shí)間執(zhí)行期權(quán)當(dāng)且僅當(dāng)紅利大于執(zhí)行價(jià)格的利息損失與以除息價(jià)為基礎(chǔ)的時(shí)間價(jià)值之和。由條件（3）（1）如果股票不分紅，則美式期權(quán)不會提前執(zhí)行。（2）美式期權(quán)提前執(zhí)