3.4基本不等式

《3.4基本不等式》由會員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。

新課導(dǎo)入如圖是在北京召開的第24界國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)，會標(biāo)是根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明暗使它看上去象一個(gè)風(fēng)車。你能在這個(gè)圖案中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？基本不等式的幾何背景.

1實(shí)際上，我們可以嘗試用四個(gè)全等的直角三角形拼成上面那個(gè)“風(fēng)車”圖案.趙爽弦圖從圖形的面積的角度你能找不一些不等關(guān)系嗎？

23.4基本不等式

3教學(xué)目標(biāo)知識與能力1.學(xué)會推導(dǎo)并掌握基本不等式，理解這個(gè)基本不等式的幾何意義，并掌握定理中的不等號“≥”取等號的條件是：當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)數(shù)相等；2.進(jìn)一步掌握基本不等式會應(yīng)用此不等式求某些函數(shù)的最值；能夠解決一些簡單的實(shí)際問題.

41.通過實(shí)例探究抽象基本不等式；過程與方法2.通過幾個(gè)例題的研究，進(jìn)一步掌握基本不等式并會用此定理求某些函數(shù)的最大、最小值;3.會利用基本不等式證明一些比較簡單的證明題，從而從基本不等式中衍生新的結(jié)論.

51.通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，體會數(shù)學(xué)來源于生活，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣;情感態(tài)度與價(jià)值觀2.引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)和使用數(shù)學(xué)知識的興趣，發(fā)展創(chuàng)新精神，培養(yǎng)實(shí)事求是、理論與實(shí)際相結(jié)合的科學(xué)態(tài)度和科學(xué)道德;3.積極倡導(dǎo)同學(xué)們進(jìn)行幾何與代數(shù)的結(jié)合運(yùn)用，發(fā)現(xiàn)各種事物之間的普遍聯(lián)系.

6重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重難點(diǎn)1.應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解不等式，并從不同角度探索基本不等式的證明過程;2.掌握基本不等式，會用此不等式證明不等式，會用此不等式求某些函數(shù)的最值.1.基本不等式等號成立條件;2.利用此不等式求函數(shù)的最大、最小值.

7探究我們繼續(xù)導(dǎo)入中的問題，觀察下圖中的不等關(guān)系.由圖中可得：為什么？ADBCEFGHab

8在正方形ABCD中有四個(gè)全等的直角三角形.設(shè)直角三角形的兩條直角邊長為a和b，那么正方形的邊長為這樣，4個(gè)直角三角形的由于4個(gè)直角三角形的面積小于正方形的面積，所以我們就得到了一個(gè)不等式：面積的和是2ab，正方形的面積為

9思考：1、不等式在什么條件下都成立嗎？形的角度a>0,b>0數(shù)的角度從而，a和b是實(shí)數(shù)時(shí)，不等式都成立.

102、公式中等號成立的條件是什么？形的角度數(shù)的角度a=b當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?，即a=b時(shí)，正方形EFGH縮為一個(gè)點(diǎn)，這時(shí)有不等式等號成立.

113、公式兩邊具有何種運(yùn)算結(jié)構(gòu)？數(shù)的角度:平方和不小于積的2倍小結(jié)：由上面的討論，我們得到一個(gè)結(jié)論:(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號成立)

12引申1、認(rèn)識基本不等式特別的，如果a>0,b>0,我們用去代替a和b，可得通常我們把上式寫成（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號）從而我們得到了這個(gè)基本不等式.

132、從不等式的性質(zhì)推導(dǎo)基本不等式的性質(zhì).分析：我們從幾何圖形中的關(guān)系獲得了基本不等式，能否利用不等式的性質(zhì)，直接推導(dǎo)出這個(gè)不等式呢？要證（2），只要證a+b-≥0（3）要證（1）只要證a+b≥（2）

14顯然，（4）是成立的。當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，（4）中的等號成立.3、這樣，我們又一次的得到了基本不等式（4）要證（3），只要證（-）≥02

15分析法即為，之前證明基本不等式時(shí)用的以結(jié)論來推過程的方法.小結(jié)：1、經(jīng)過以上的引申，我們得到了一個(gè)基本不等式2、我們應(yīng)熟練掌握分析法證明不等式.是什么？

16思考：我們之前用分析法證明了基本不等式，它有什么幾何意義嗎？在右圖中，AB是圓的直徑，點(diǎn)C是AB上的一點(diǎn)，AC=a,BC=b.過點(diǎn)C作垂直于AB的弦DE，連接AD、BD.

17根據(jù)圓的性質(zhì)，我們知道：半徑不小于半弦從而得到：

18概念1、如果把看作是正數(shù)a、b的等差中項(xiàng)，看作是正數(shù)a、b的等比中項(xiàng)，那么該定理可以敘述為：兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)不小于它們的等比中項(xiàng).2、在數(shù)學(xué)中，我們稱為a、b的算術(shù)平均數(shù)，稱為a、b的幾何平均數(shù).本節(jié)定理還可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).

19實(shí)際問題1、用籬笆圍一個(gè)面積為100m2的矩形菜園，問這個(gè)矩形的長、寬各為多少時(shí)，所用籬笆最短.最短籬笆是多少？2、一段長為36m的籬笆圍成一矩形菜園，問這個(gè)矩形的長、寬各為多少時(shí)，菜園的面積最大.最大面積是多少？

20分析：對于（1），矩形菜園的面積是確定的.因此我們要解決的問題是：當(dāng)面積確定時(shí)，長和寬取什么值時(shí)籬笆的周長最短?對于（2），矩形菜園的周長是確定的，長和寬沒有確定.我們要解決的問題是：當(dāng)周長確定時(shí)，長和寬取什么值時(shí)籬笆圍成的面積越大？

21解：（1）設(shè)矩形菜園的長為xm，寬為ym，則xy=100，籬笆的長為2（x+y）m.由可得即x+y≥20,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=10時(shí)等號成立.因此，這個(gè)矩形的長、寬都為10m時(shí)，所用的籬笆最短，最短的籬笆是40m.

22（2）解法一：設(shè)矩形菜園的寬為xm，則長為（36－2x）m，其中0＜x＜其面積S＝x（36－2x）＝×2x（36－2x）當(dāng)且僅當(dāng)2x＝36－2x，即x＝9時(shí)菜園面積最大，即菜園長9m，寬為9m時(shí)菜園面積最大為81m2.

23解法二：設(shè)矩形菜園的長為xm,寬為ym,則2(x+y)=36,x+y=18,矩形菜園的面積為xym2.由可得xy≤81.當(dāng)且僅當(dāng)x=y,即x=y=9時(shí)，等號成立.因此，這個(gè)矩形的長、寬都為9m時(shí)，菜園的面積最大，最大面積是81m2.

24從上面的實(shí)際問題中，你能得到什么結(jié)論呢？小結(jié)：1、兩個(gè)正數(shù)的和為定值時(shí)，它們的積有最大值，即若a，b∈R＋，且a＋b＝M，M為定值，則ab等號當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)成立.2、兩個(gè)正數(shù)的積為定值時(shí)，它們的和有最小值，即若a，b∈R＋，且ab＝P，P為定值，則a＋b等號當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)成立.

25應(yīng)用某廠生產(chǎn)化工產(chǎn)品，當(dāng)年產(chǎn)量在150噸至250噸之間時(shí)，某年生產(chǎn)總成本y（萬元）與年產(chǎn)量x(噸）之間的關(guān)系可近似地表示為求年產(chǎn)量為多少噸時(shí)，每噸的平均成本最低？

26解：每噸平均成本為（萬元），則≥10即當(dāng)且僅當(dāng)即x=200時(shí)，取等號故年產(chǎn)量為２００噸時(shí)，每噸的平均成本最低.答：

27小結(jié)：用均值不等式解決此類問題時(shí)，應(yīng)按如下步驟進(jìn)行：1、先理解題意，設(shè)變量，設(shè)變量時(shí)一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù)；2、建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實(shí)際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題；3、在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值；4、正確寫出答案.

28求最值已知：0＜x＜，求函數(shù)y=x（1-3x）的最大值.利用二次函數(shù)求某一區(qū)間的最值分析一、原函數(shù)式可化為：y=-3x2+x，分析二、挖掘隱含條件∵3x+1-3x=1為定值，且0＜x＜則1-3x＞0；

29即x=ymax=∵0＜x＜，∴1-3x＞0∴y=x（1-3x）=3x（1-3x）當(dāng)且僅當(dāng)3x=1-3x可用均值不等式法解：

30小結(jié)：1、利用上述重要不等式求函數(shù)的最值時(shí)務(wù)必注意三點(diǎn)達(dá)到：一正二定三能等!具體指的是什么？(1)各項(xiàng)必須為正;(2)含變數(shù)的各項(xiàng)和或積必須為定值;(3)必須有自變量值能使函數(shù)取到=號.

31證明2、主要用到的方法和技巧是：湊、拆,使之出現(xiàn)和為定值或積為定值特征.求證：在所有周長相同的矩形中，正方形的面積最大；在所有面積相同的矩形中，正方形的周長最短.

32設(shè)矩形的長為x，寬為y，那么該矩形的周長2(x+y),面積為xy，這樣問題就轉(zhuǎn)化為：（1）如果2(x+y)(從而x+y）為定值，那么正數(shù)x、y相等時(shí)，xy最大.（2）如果xy為定值，那么正數(shù)x=y時(shí)，2(x+y)最小，（從而x+y）最小.解：

33課堂小結(jié)(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號成立).1、經(jīng)過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們得到了一個(gè)基本不等式其中，a>0,b>02、兩個(gè)正數(shù)的和為定值時(shí)，它們的積有最大值，即若a，b∈R＋，且a＋b＝M，M為定值，則ab等號當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)成立.

343、兩個(gè)正數(shù)的積為定值時(shí)，它們的和有最小值，即若a，b∈R＋，且ab＝P，P為定值，則a＋b等號當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)成立.4、利用上述重要不等式求函數(shù)的最值時(shí)務(wù)必注意三點(diǎn)達(dá)到：一正二定三能等!

35（2005上海）已知a、b、c都是正數(shù)，求證（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc.解：∵a，b，c都是正數(shù)∴a＋b≥2b＋c≥2c＋a≥2∴（a＋b）（b＋c）（c＋a）即（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc.高考鏈接

36課堂練習(xí)1、若x>0,f(x)=的最小值為_______;此時(shí)x=_______.若x>0,f(x)=的最小值為_______;此時(shí)x=_______.122-12-2直接應(yīng)用基本不等式即可，注意等號成立的條件！

372、閱讀下題的各種解法，指出有錯(cuò)誤的地方.

38答：前兩種解法中都沒有注意等號成立的條件，均值不等式只在等號同時(shí)成立的時(shí)候，等號才成立.只有第三種解法是對的.還有其他方法嗎？

393、下列函數(shù)中，最小值是4的是（）4、建造一個(gè)容積為18m3,深為2m的長方形無蓋水池，如果池底和池壁每m2的造價(jià)為200元和150元，那么池的最低造價(jià)為__元.3600C

405、求證證明:當(dāng)且僅當(dāng)a=5時(shí)，等號成立.

416、(1)設(shè)a與b都為實(shí)數(shù)且a+b=3,的最小值___.(2)求函數(shù)f(x)=x(4-x)(0-1，則函數(shù)的最小值___.49

42習(xí)題答案1.(1)設(shè)兩個(gè)正數(shù)為a，b，則a>0,b>0,且ab=36,所以a+b當(dāng)且僅當(dāng)a=b=6時(shí)取等號.答:當(dāng)這兩個(gè)正數(shù)均為6時(shí),它們的和最小.設(shè)兩個(gè)正數(shù)為,,依題意a>0,b>0,且a+b=18,所以當(dāng)且僅當(dāng)a=b=9時(shí),取等號.答:當(dāng)這兩個(gè)正數(shù)均為9時(shí),它們的和最小.

43