浙江省杭州第二中學2022-2023學年高一上學期分班考數(shù)學 Word版含解析.docx

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杭二中高一新生實驗班選拔考試數(shù)學試卷注意：（1）本試卷分三部分，17小題，滿分150分，考試時間60分鐘.（2）請將解答寫在答題卷相應題次上，做在試題卷上無效.一、選擇題.（5分×6=30分）1.如果a，b，c是正數(shù)，且滿足a+b+c＝9，，那么的值為（　?。〢6B.7C.9D.10【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)題意得出a＝9﹣b﹣c，b＝9﹣a﹣c，c＝9﹣a﹣b，再代入原式進行計算即可．【詳解】∵a，b，c是正數(shù)，且滿足a+b+c＝9，∴a＝9﹣b﹣c，b＝9﹣a﹣c，c＝9﹣a﹣b，∴原式＝+＝+﹣3＝9×﹣3＝7，故選：B．【點睛】本題考查的是分式的化簡求值，熟知分式混合運算的法則是解答此題的關(guān)鍵．2.小倩和小玲每人都有若干面值為整數(shù)元的人民幣.小倩對小玲說：“你若給我2元，我的錢數(shù)將是你的倍”；小玲對小倩說：“你若給我元，我的錢數(shù)將是你的2倍”，其中為正整數(shù)，則的可能值的個數(shù)是（）A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】【分析】設(shè)小倩和小玲手上有元，列方程組，結(jié)合是正整數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】由題意，，由得， 代入，解得，即，則，由題意，是正整數(shù)，故是的約數(shù)，故可能等于，解得可能等于，此時對應的分別為故的可能值的個數(shù)是個.故選：D3.若質(zhì)數(shù)滿足，則數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）A.4B.7C.4或7D.4.5或6.5【答案】C【解析】【分析】將條件轉(zhuǎn)化成，對進行質(zhì)因數(shù)分解，分析可能的取值，從而得到可能的取值，解出后，根據(jù)中位數(shù)定義計算.【詳解】由題意，可變?yōu)椋?，即，由于是質(zhì)數(shù)，故的質(zhì)因數(shù)只可能是，注意到是質(zhì)數(shù)，故，則，故可能的取值是，于是可能有以下情況：解得；解得；，無解；，無解.當時，的中位數(shù)是；當時，的中位數(shù)是.故選：C4.，則（）A.B.0C.32D.64【答案】A【解析】 【分析】利用賦值法計算可得.【詳解】因為，令可得，令可得，令可得，所以，則故選：A5.若四個互不相等的正實數(shù)，，，滿足，，則的值為（）A.2012B.2011C.2012D.2011【答案】A【解析】【分析】設(shè)，則，將已知等式左側(cè)展開，分別作加減處理即可得，進而可得結(jié)果.【詳解】令，且，所以，則，兩式相減得，故①，兩式相加得，將①代入，所以，故，而.故選：A二、填空題（6分×8=48分）6.設(shè)下列三個一元二次方程：；；，至少有一個方程有實根，則實數(shù)的取值范圍是___________. 【答案】或【解析】【分析】利用正難則反的思想，先考慮每個方程都沒有實數(shù)根進行計算，所得結(jié)果的“反面”即為所求.【詳解】若上述的三個方程都沒有實數(shù)根，依題意，，根據(jù)解得，恒成立，解得，于是三個方程都沒有實數(shù)根的的取值范圍是，故至少有一個方程有實根，則實數(shù)的取值范圍是或.故答案為：或7.如圖所示，把大正方形紙片剪成五個部分，在分別距離大正方形的四個頂點5厘米處沿方向剪開，中間的部分正好是小正方形，那么小正方形的面積是__________平方厘米.【答案】50【解析】【分析】先判斷出是等腰直角三角形，進而求出，再判斷出四邊形是矩形，進而求出，即可得出結(jié)論．【詳解】如圖，因為四邊形是正方形， 過點作交于,.,因為陰影部分是正方形，所以四邊形為矩形，那么小正方形的面積是故答案為：50.8.點為軸正半軸上一點，，兩點關(guān)于軸對稱，過點任作直線交拋物線于，兩點.若點的坐標為，且，則所有滿足條件的直線的函數(shù)解析式為：___________.【答案】或.【解析】【分析】利用拋物線的圖象上點的坐標特征，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，根與系數(shù)關(guān)系和相似三角形的判定與性質(zhì)得到，繼續(xù)由相似三角形、根與系數(shù)、函數(shù)解析式求得結(jié)果.【詳解】如圖，分別過點P，Q作y軸的垂線，垂足分別為C，D. 由點A的坐標為，則點B的坐標為.設(shè)直線的函數(shù)解析式為，并設(shè)P，Q的坐標分別為，.由，得，于是，即.于是.又因為，所以，因為，所以，故.設(shè)，，不妨設(shè)，則，，所以，.因為，所以.于是，即，所以.由，即，所以，，于是可求得.將代入，得到點的坐標或.再將點的坐標代入，求得或.所以直線的函數(shù)解析式為或. 故答案為：或.9.能使成立的正整數(shù)的值的個數(shù)等于___________.【答案】【解析】【分析】按照絕對值不等式的解法分類求解即可【詳解】由題意，等價于或.若，即，由于是正整數(shù)，則，于是無解；若，即，兩邊平方可得，，化簡整理得，，根據(jù)平方差公式，，故解得，滿足條件得正整數(shù)從到，有個.故答案為：10.如圖，四邊形中，，，.設(shè)，延長線交于，則____________.【答案】【解析】【分析】過點作的平行線，過點作的平行線，兩者交于點，連接，證明四邊形為菱形，再進一步證明為等邊三角形，進而可求得，即可得解.【詳解】如圖，過點作的平行線，過點作的平行線，兩者交于點，連接，由作法可知，，所以四邊形為平行四邊形，又，所以四邊形為菱形， 所以，，因為，所以，又，所以，所以為等邊三角形，所以，所以，則，所以，因為，所以.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：過點作的平行線，過點作的平行線，兩者交于點，連接，證明四邊形為菱形，及為等邊三角形，是解決本題的關(guān)鍵.11.是的邊上的一點，使得，是外接圓上一點，使得，則的值___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)圓弧的性質(zhì)以及三角形相似求解即可；【詳解】解：連接， ∵與是所對的圓周角，∴，∵，∴，又，∴，∴，∴，∴.故答案為：.三、解答題.（12分×6=72分）12.已和均為非負數(shù)，且滿足.（1）用表示；（2）求的最小值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）把看作常數(shù)，解關(guān)于的方程組即可；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果以及均為非負數(shù)，先求出的范圍，然后將用表示后進行求解.【小問1詳解】由題意，，兩式相加，解得，由解得，故，【小問2詳解】 根據(jù)（1）中得結(jié)果，注意到均為非負數(shù)，故，解得，又，由于是關(guān)于的開口向上，對稱軸為的二次函數(shù)，時，隨的增加而減少，故時，13.由于受到手機更新?lián)Q代的影響，某手機店經(jīng)銷的Iphone6手機二月售價比一月每臺降價500元，如果賣出相同數(shù)量的Iphone6手機，那么一月銷售額為9萬元，二月銷售額只有8萬元.（1）一月Iphone6手機每臺售價為多少元?（2）為了提高利潤，該店計劃三月購進Iphone6s手機銷售，已知Iphone6每臺進價為3500元，Iphone6s每臺進價為4000元，預計用不多于7.6萬元且不少于7.4萬元資金購進這兩種手機共20臺，請問有幾種進貨方案?（3）該店計劃4月對Iphone6的尾貨進行銷售，決定在二月售價基礎(chǔ)上每售出一臺Iphone6手機再返還顧客現(xiàn)金元，而Iphone6s按銷售價4400元銷售，如要使（2）中所有方案獲利相同，應取何值?【答案】（1）一月Iphone4每臺售價為4500元（2）有5種進貨方案（3）【解析】【分析】（1）設(shè)一月Iphone6手機的每臺售價為元，根據(jù)題意得到，即可求解；（2）設(shè)購進Iphone6手機為臺，由題意得到，求得的范圍，即可求解；（3）設(shè)總獲利元，得到，結(jié)合，即可求解.【小問1詳解】解：設(shè)一月Iphone6手機的每臺售價為元，則二月Iphone6手機的售價為元，根據(jù)題意，可得，解得（元），即一月Iphone6手機每臺售價為元.【小問2詳解】解：設(shè)購進Iphone6手機為臺，則購進的Iphone6手機為臺，根據(jù)題意，可得，解得，因為，所以的取值為，共有種進貨方案. 【小問3詳解】解：二月Iphone6手機每臺售價為（元），設(shè)總獲利元，則，令，可得，即當時，（2）中所有的方案獲利相同.14.如圖，在中，，，、是邊上的兩點，，，，則的面積是多少?【答案】【解析】【分析】作且，連接，利用得到，，應用勾股定理求得，再由得，進而求得，，最后根據(jù)求結(jié)果即可.【詳解】如下圖，作且，則為等腰直角三角形，連接，由題意為等腰直角三角形，且，，所以，則，且，所以，則為直角三角形，所以，即， 對于有，即，故，所以，故的面積，且，所以，在等腰中，則，又.15.若直線：交x軸于點A，交y軸于點B.坐標原點O關(guān)于直線的對稱點在反比例函數(shù)的圖象上.（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）將直線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)角，得到直線，交y軸于點P，過點P作x軸的平行線，與上述反比例函數(shù)的圖象交于點Q，當四邊形的面積為時，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知可得為等腰直角三角形，根據(jù)對稱性知四邊形為正方形，即可確定坐標，代入求參數(shù)，即得解析式；（2）設(shè)且，求得、，由列方程求得，進而結(jié)合的正弦值確定角的大小.【小問1詳解】由題設(shè)，，顯然為等腰直角三角形，又坐標原點O關(guān)于直線的對稱點，則四邊形為正方形，易知：在上，則，故. 【小問2詳解】令且，則，故，所以，由（1）知：，而，，所以，可得，所以，即，故，則，在直角中，則.16.已知關(guān)于的方程有兩個正整數(shù)根（是整數(shù)）.的三邊滿足.求：（1）的值；（2）的面積.【答案】（1）（2）1【解析】【分析】（1）根據(jù)方程可得兩根分別為，再根據(jù)兩根為整數(shù)可求.（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果可判斷三角形為直角三角形，從而可求面積.【小問1詳解】因為關(guān)于的方程有兩個正整數(shù)根（是整數(shù)），所以， 又，故兩根分別為.由兩根為整數(shù)，故為整數(shù)，所以即，當時，，此數(shù)不是整數(shù)，故舍去.當時，，所以（舍）或（舍）.當時，，舍.當時，，所以或.故.【小問2詳解】由（1）可得或.若，則，故為直角三角形，為直角，故.17.如圖為等腰三角形，是底邊上的高，點是線段上的一點，和分別是和的外接圓的直徑，連接，求證：.【答案】證明見解析 【解析】【分析】證明，由相似三角形的性質(zhì)結(jié)合銳角三角函數(shù)求解即可.【詳解】證明：如圖，連接，.∵和都是直徑，∴，，∴，，三點共線，連接，，則，∴.作，垂足為.又∵，，∴四邊形是矩形，∴，∵，∴，∴，∴.附加題（同分優(yōu)先）：18.如圖，已知為半圓O的直徑，點P為直徑上的任意一點.以點A為圓心，為半徑作，與半圓O相交于點C；以點B為圓心，為半徑作，與半圓O相交于點D，且線段的中點為M.求證：分別與和相切.【答案】證明見解析【解析】【分析】連接，，，，作，，垂足分別為，，根據(jù)圓的性質(zhì)得，利用三角形相似得、，聯(lián)立處理得 ，即，進而確定是直角梯形的中位線，結(jié)合線段的垂直關(guān)系即可證結(jié)論.【詳解】如圖，連接，，，，作，，垂足分別，，∴，，.∵是的直徑，∴，又是和的公共角.∴，則，即，同理，兩式相減得①，∴②，由①②得：，即，∴，則點是線段的中點，∵是的中點，∴是直角梯形中位線，∴，∴分別與和相切.