重慶市西南大學附屬中學校2023-2024學年高二上學期期中數(shù)學Word版含解析.docx

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西南大學附中2023—2024學年度高二上期期中考試數(shù)學試題（滿分：150分，考試時間：120分鐘）注意事項：1．答卷前考生務必把自己的姓名，準考證號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時用2B鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑；回答非選擇題時，用0.5毫米黑色墨跡簽字筆將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將答題卡交回（試題卷自己保管好，以備評講）.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.直線的傾斜角為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)直線方程求斜率，進而可得傾斜角.【詳解】直線即，可知直線的斜率，傾斜角為.故選：D.2.橢圓與橢圓的（）A.長軸相等B.短軸相等C.焦距相等D.離心率相等【答案】C【解析】【分析】根據(jù)兩個橢圓的標準方程，求出焦距即可得到結(jié)論.【詳解】因為中的，所以，焦距為； 因為中的，所以，焦距為；故選：C.3.已知直線，，若且，則的值為（）A.B.C.D.2【答案】C【解析】【分析】由兩直線的平行與垂直求得值后可得結(jié)論.【詳解】由題意,，，，所以．故選：C．4.某中學隨機地調(diào)查了50名學生，了解他們一周在校的體育鍛煉時間，結(jié)果如下表所示：則這50名學生這一周在校的平均體育鍛煉時間是（）時間（小時）5678人數(shù)1015205A.6.2小時B.6.4小時C.6.5小時D.7小時【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)的計算公式，即可求得答案.【詳解】由題意可得這50名學生這一周在校的平均體育鍛煉時間是：（小時），故選：B5.已知點在曲線上，則的取值范圍是（）A.B.C.D. 【答案】C【解析】【分析】分析可知曲線為以為圓心，半徑的上半圓，，根據(jù)圓的性質(zhì)結(jié)合圖形分析求解.【詳解】因為整理得，表示以為圓心，半徑的上半圓，設(shè)，則，如圖所示：當三點共線時，取到最小值，當為半圓的右端點時，取到最大值，即，則，所以的取值范圍是.故選：C.6.過直線l：上一點P作圓M：的兩條切線，切點分別是A，B，則四邊形MAPB的面積最小值是（）A.1B.C.2D.【答案】D【解析】【分析】由距離公式結(jié)合勾股定理得出，進而由面積公式得出四邊形MAPB的面積最小值.【詳解】圓M：的圓心到直線l：的距離，故的最小值是3，又因為，則， 故的面積的最小值是，故四邊形MAPB的面積的最小值是.故選：D.7.在一個不透明的袋子里裝有四個小球，球上分別標有4，5，6，7四個數(shù)字，這些小球除數(shù)字外都相同．小紅、小明兩人玩“猜數(shù)字”游戲，小紅先從袋中任意摸出一個小球，將小球上的數(shù)字記為m，再由小明猜這個小球上的數(shù)字，記為n．如果m，n滿足，那么就稱小紅、小明兩人“心心相印”，則兩人“心心相印”的概率是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先算出樣本空間包含的樣本點數(shù)，再求出兩人“心心相印”的包含的樣本點數(shù)，相比即可求出概率.【詳解】樣本空間包含樣本點數(shù)為，m，n滿足，那么就稱小紅、小明兩人“心心相印”當時，當時，當時，當時，則小紅、小明兩人“心心相印”事件包含了個樣本點，兩人“心心相印”的概率是，故選：D8.如圖，已知直線l：與圓O：相離，點P在直線l上運動且位于第一象限，過P作圓O的兩條切線，切點分別是M、N，直線MN與x軸、y軸分別交于R、T兩點，且面積的最小值為，則m的值為（） A.－5B.－6C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系得到，設(shè)出，得到，作出輔助線，得到四點共圓，由幾何關(guān)系求出圓的方程，從而求出相交弦方程，得到的面積，配方得到其最值，得到方程，得到答案.【詳解】直線l：與圓O：相離，故，解得，設(shè)，點P在直線l上運動且位于第一象限，故，連接，則⊥，⊥，則四點共圓，且為直徑，其中圓心為，半徑為，故所在圓的方程為，化簡得， 與相減得到直線MN的方程，即，令得，令得，因為，所以，故，，故的面積為，因為，所以當時，的面積取得最大值，最大值為，故，解得，經(jīng)檢驗，均滿足要求.故選：D【點睛】過圓上一點的切線方程為：，過圓外一點的切點弦方程為：.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.少年強則國強，少年智則國智，黨和政府一直重視青少年的健康成長，出臺了一系列政策和行動計劃，提高學生身體素質(zhì)，為了加強對學生的營養(yǎng)健康監(jiān)測，某校在3000名學生中，抽查了100名學生的體重數(shù)據(jù)情況.根據(jù)所得數(shù)據(jù)繪制樣本的頻率分布直方圖如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（） A.樣本的眾數(shù)為65B.該校學生中低于65kg的學生大約為1200人C.樣本的第80百分位數(shù)為72.5D.樣本的平均值為66.75【答案】BCD【解析】【分析】由頻率分布直方圖得眾數(shù)，百分位數(shù)，平均數(shù)后判斷【詳解】對于A，樣本的眾數(shù)為67.5，故A錯誤，對于B，該校學生中低于65kg的學生大約為，故B正確，對于C，體重位于的頻率為，體重位于的頻率為，故第80百分位數(shù)位于，設(shè)其為，則，得，故C正確，對于D，樣本的平均值為，故D正確，故選：BCD10.已知事件A、B發(fā)生的概率分別為，，則下列說法正確的是（）A.若A與B相互獨立，則B.若，則事件與B相互獨立C.若A與B互斥，則D.若B發(fā)生時A一定發(fā)生，則【答案】AB【解析】【分析】利用并事件的概率公式可判斷選項，利用獨立事件的定義可判斷 選項；；利用互斥事件的概率公式可判斷C選項；分析可知，可判斷出D選項【詳解】對于A，若A與B相互獨立，則，所以，故A對；對于B，因為，，則，因為，所以事件與B相互獨立，故B對；對于C，若A與B互斥，則，故C錯；對于D，若B發(fā)生時A一定發(fā)生，則，則，故D錯.故選：AB.11.已知的頂點P在圓C：上，頂點A、B在圓O：上．若，則（）A.的面積的最大值為B.直線PA被圓C截得的弦長的最小值為C.有且僅有一個點P，使得為D.有且僅有一個點P，使得直線PA，PB都是圓O的切線【答案】AD【解析】【分析】設(shè)點到直線的距離為，由求得的最大值判斷A，利用直線和圓的位置關(guān)系判斷B，若，分析的外接圓與圓C的交點個數(shù)，判斷C，利用射影定理可得進而判斷D.【詳解】由題意可知：圓C：的圓心，半徑為9，圓O：的圓心，半徑為2，因為，可知圓O在圓C內(nèi)，設(shè)線段的中點為，因為，則，且， 對于選項A：設(shè)點到直線的距離為，則，所以當且僅當四點共線時，點到直線距離的最大值為15，所以的面積的最大值為，故A正確；對于選項B：點到直線的距離小于等于，當時，等號成立，且的最大值為7，所以點到直線的距離的最大值為7，此時直線被圓截得的弦長的最小值為，故B錯誤；對于選項C：設(shè)的外接圓的圓心為，半徑為，若，則，，可知，因為P在圓C上，，當且僅當四點共線時成立，且，可知此時圓與圓C相交，此時有2個點，使得，故C錯誤；對于選項D，若直線，都是圓的切線，則，由射影定理，可得，當且僅當三點共線時，，因此有且僅有一個點，使得直線，都是圓的切線，故D正確；故選：AD.12.在平面直角坐標系中，定義為兩點、的“ 切比雪夫距離”，又設(shè)點及上任意一點，稱的最小值為點到直線的“切比雪夫距離”，記作，給出下列四個命題，正確的是（）A.對任意三點，都有；B.已知點和直線，則；C.到定點的距離和到的“切比雪夫距離”相等的點的軌跡是正方形.D.定點、，動點滿足，則點的軌跡與直線（為常數(shù)）有且僅有2個公共點.【答案】AD【解析】【分析】對于選項A，根據(jù)新定義，利用絕對值不等性即可判斷；對于選項B，設(shè)點是直線上一點，且，可得，討論，的大小，可得距離，再由函數(shù)的性質(zhì)，可得最小值；對于選項C，運用新定義，求得點的軌跡方程，即可判斷；對于選項D，根據(jù)定義得，再根據(jù)對稱性進行討論，求得軌跡方程，即可判斷．【詳解】A選項，設(shè)，由題意可得：同理可得：，則：，則對任意的三點，，，都有；故A正確；B選項，設(shè)點是直線上一點，且，可得， 由，解得或，即有，當時，取得最小值；由，解得，即有，的范圍是，無最值，綜上可得，，兩點的“切比雪夫距離”的最小值為，故B錯誤；C選項，設(shè)，則，若，則，兩邊平方整理得；此時所求軌跡為或若，則，兩邊平方整理得；此時所求軌跡為或，故沒法說所求軌跡是正方形，故C錯誤；D選項，定點、，動點滿足（），則：，顯然上述方程所表示的曲線關(guān)于原點對稱，故不妨設(shè)x≥0，y≥0.(1)當時，有，得：；(2)當時，有，此時無解；(3)當時，有；則點P的軌跡是如圖所示的以原點為中心的兩支折線.結(jié)合圖像可知，點的軌跡與直線（為常數(shù)）有且僅有2個公共點，故D正確.故選：AD.【點睛】“新定義” 主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問題，有時還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對新定義的透徹理解.對于此題中的新概念，對閱讀理解能力有一定的要求.但是，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學知識，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應萬變才是制勝法寶.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．13.已知橢圓方程為，則該橢圓離心率為______．【答案】##【解析】【分析】利用橢圓的標準方程及幾何性質(zhì)、離心率公式運算即可得解.【詳解】由橢圓的標準方程及幾何性質(zhì)知，∵，∴，，則，∴，，則離心率.故答案為：.14.已知焦點在y軸上的橢圓的離心率，A是橢圓的右頂點，P是橢圓上任意一點，則的最大值是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)離心率求得橢圓的方程為，設(shè)，則，由，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由焦點在y軸上的橢圓的離心率，可得，解得，所以橢圓的方程為，則， 設(shè)，則，因為，當時，可得取得最大值，最大值為，所以的最大值為.故答案為：.15.五聲音階是中國古樂基本音階，故有成語“五音不全”．中國古樂中的五聲音階依次為：宮、商、角、徵、羽，若把這五個音階全用上，排成一個五個音階的音序，且要求宮、角、羽三音階不全相鄰，則可排成不同的音序種數(shù)是______．【答案】84【解析】【分析】先考慮所有情況，再減去不滿足的情況即可.【詳解】先考慮五個音階任意排列，有種情況，再減去宮、角、羽三音階都相鄰的情況，把宮、角、羽三音階看做一個一個整體，則一共變成3個元素，有種情況，而宮、角、羽三音階又可以任意排列，有種情況，所以一共的音序有種，故答案為：8416.在平面直角坐標系中，已知圓：和圓：，設(shè)為平面上的點，若滿足：存在過點的無窮多對互相垂直的直線和，它們分別與圓和圓相交，且直線被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等，則所有滿足條件的點的坐標是______________.【答案】或.【解析】【分析】設(shè)出過點的直線和的方程，根據(jù)圓和圓的半徑相等，及直線被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等，可得的圓心到直線的距離和圓的圓心到直線的距離相等，故可得到一個關(guān)于直線斜率的方程，即可求出所有滿足條件的點的坐標. 【詳解】圓：的圓心為，半徑為3，圓：的圓心為，半徑為3，設(shè)點滿足條件，因為過點的無窮多對互相垂直的直線和，所以不妨設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，因為圓和圓的半徑相等，及直線被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等，所以的圓心到直線的距離和圓的圓心到直線的距離相等，所以，所以，所以或，所以或，因為的取值有無窮多個，所以或，解得或，所以所有滿足條件的點的坐標為或，故答案為：或.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知橢圓C：的兩個焦點分別為，，且過點．（1）求橢圓C的標準方程； （2）若該橢圓左頂點為B，則橢圓上是否存在一點P，使得的面積為．若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）存在這樣的點P為【解析】【分析】（1）通過焦點可得，橢圓過點，可得，解方程組即可求得橢圓方程；（2）假設(shè)存在點，使得的面積為，可構(gòu)建方程關(guān)于的方程，再代入橢圓，求得，則可判定是否存在這樣的點.【小問1詳解】因為兩個焦點分別為，所以，即，因橢圓過點，所以，又，解得（負值舍去），所以橢圓C的標準方程【小問2詳解】假設(shè)存在點，使得的面積為， 則又，所以解得，代入橢圓可得，解得,此時點的坐標為所以存在點P為時，使得的面積為.18.已知，，過A，B兩點作圓，且圓心在直線l：上．（1）求圓的標準方程；（2）過作圓的切線，求切線所在的直線方程．【答案】（1）（2）或.【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可得解；（2）分類討論切線斜率存在與否，再利用直線與圓相切時，圓心到直線的距離等于半徑即可得解.【小問1詳解】依題意，設(shè)圓的標準方程為，則，解得，所以圓的標準方程為.【小問2詳解】由（1）知，，若所求直線的斜率不存在，則由直線過點，得直線方程為，此時圓心到直線的距離，滿足題意； 若所求直線的斜率存在，設(shè)斜率為，則直線方程為，即，因為直線與圓相切，所以圓心到直線的距離，解得，所以切線方程為，即.綜上，切線方程為或.19.已知直線l：，點．（1）若點P到直線l距離為d，求d的最大值及此時l的直線方程；（2）當時，過點P的一條入射光線經(jīng)過直線l反射，其反射光線經(jīng)過原點，求反射光線的直線方程．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）求出直線所過定點，當時最大，且，據(jù)此求直線方程；（2）求關(guān)于直線l的對稱點，根據(jù)在反射直線上求解即可.【小問1詳解】因為直線l：可得，所以由解得，即直線過定點，所以到直線l的距離，此時，即，所以直線l的方程為，即.【小問2詳解】時，直線l：，設(shè)關(guān)于直線l：的對稱點， 則，解得，，即，又在反射直線上且反射直線過原點，所以反射直線的斜率為，故反射直線的方程為，即.20.為了考察學生對高中數(shù)學知識的掌握程度，準備了甲、乙兩個不透明紙箱．其中，甲箱有2道概念敘述題，2道計算題；乙紙箱中有2道概念敘述題，3道計算題（所有題目均不相同）．現(xiàn)有A，B兩個同學來抽題回答；每個同學在甲或乙兩個紙箱中逐個隨機抽取兩道題作答．每個同學先抽取1道題作答，答完題目后不放回，再抽取一道題作答（不在題目上作答）．兩道題答題結(jié)束后，再將這兩道題目放回原紙箱．（1）如果A同學從甲箱中抽取兩道題，則第二題抽到的是概念敘述題的概率；（2）如果A同學從甲箱中抽取兩道題，解答完后，誤把題目放到了乙箱中．B同學接著抽取題目回答，若他從乙箱中抽取兩道題目，求第一個題目抽取概念敘述題的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)表示“第次從甲箱中抽到概念敘述題”，分別求出概率，根據(jù)全概率公式計算即可；（2）先設(shè)事件，然后求出相關(guān)概率，再根據(jù)全概率公式計算即可.【小問1詳解】設(shè)表示“第次從甲箱中抽到概念敘述題”，則，，所以第二題抽到的是概念敘述題的概率【小問2詳解】 設(shè)事件表示同學甲從甲箱中取出的兩道題都是概念敘述題，事件表示同學甲從甲箱中取出的兩道題都是計算題，事件表示同學甲從甲箱中取出1個概念敘述題1個計算題，事件表示B同學從乙箱中抽取兩道題目，第一個題目抽取概念敘述題，，，，，21.某研究小組發(fā)現(xiàn)某藥物X對神經(jīng)沖動的產(chǎn)生有明顯的抑制作用，稱為“麻醉”.該研究小組進行大量實驗，刺激突觸前神經(jīng)元時，記錄未加藥物X和加藥物X后突觸前神經(jīng)元的動作電位（單位：mV），在大量實驗后，得到如下頻率分布直方圖.利用動作電位的指標定一個判斷標準，需要確定一個臨界值c.當動作電位小于c時判定為“麻醉”，大于或等于c時判定為“未麻醉”.該檢測漏判率是將添加藥物X的被判定為“未麻醉”的概率，記為；誤判率是將未添加藥物X的被判定為“麻醉”的概率，記為.（1）當漏判率為時，求臨界值c；（2）令函數(shù)，當時，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意由第二個頻率分布直方圖的頻率可求出；（2）根據(jù)題意得出的解析式，再根據(jù)一次函數(shù)的單調(diào)性即可求解. 【小問1詳解】依題可知，漏判率為，右邊第二個頻率分布直方圖圖形中后兩個小矩形的面積分別為，因為，所以，所以，解得；【小問2詳解】當時，，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以在區(qū)間的最小值為.22.已知在平面直角坐標系xOy中，，，平面內(nèi)動點P滿足．（1）求點P的軌跡方程；（2）點P軌跡記為曲線C，若曲線C與x軸的交點為M，N兩點，Q為直線l：上的動點，直線MQ，NQ與曲線C的另一個交點分別為E，F(xiàn)，直線EF與x軸交點為K，求的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)，根據(jù)列式，再化簡即可；（2）設(shè)的直線方程，與圓聯(lián)立方程，列出根與系數(shù)關(guān)系，再列出直線，的方程，求得Q點縱坐標構(gòu)建方程，代入韋達定理，求得參數(shù)，算出直線必過點，再用幾何法求得最短弦即可.【小問1詳解】設(shè)動點坐標，因為動點P滿足，且，，所以，化簡可得，，即，所以點P的軌跡方程為.【小問2詳解】 曲線C：中，令，可得，解得或，可知,當直線為斜率為0時，即為直徑，長度為8，當直線斜率不為0時，設(shè)的直線方程為，聯(lián)立消去可得：，化簡可得；由韋達定理可得，因為，所以，的斜率為，又點在曲線C上，所以,可得，所以，所以，的方程為，， 令可得，化簡可得；，又在直線上，可得，，所以，化簡可得；，又，代入可得，化簡可得，，，所以或，當時為，必過，不合題意，當時為，必過，又即為圓的弦長，所以當直徑時弦長最小，此時半徑圓心到直線的距離為綜上，的最小值.點睛】方法點睛：求必過點可用聯(lián)立方程，設(shè)而不求，算出參數(shù)關(guān)系.