個位數(shù)與完全平方數(shù)

《個位數(shù)與完全平方數(shù)》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。

1、個位數(shù)與完全平方數(shù)1．個位數(shù)正整數(shù)冪的個位與其底數(shù)的個位有周期性關(guān)系.下面首先介紹其周期性及一些相關(guān)性質(zhì)，通過例題來說明它的應(yīng)用.關(guān)于個位周期我們用下表說明：（此處無表）注：表中G(a)、G(an)分別表示整數(shù)a及an的個位，當(dāng)n=4k+r(r=0，1，2，3，k∈N)時，a4k+r時，a4k+r的個位與a的個位相同.下面兩條性質(zhì)是顯然的：性質(zhì)1和的個位數(shù)字是諸加項個位數(shù)字之和的個位數(shù)字.性質(zhì)2積的個位數(shù)字是諸因數(shù)個位數(shù)字之積的個位數(shù)字.（1）確定高次冪的個位數(shù)及連乘積的個位數(shù).例1（杭州首屆“永是

2、杯”初二數(shù)學(xué)競賽題）19871987·19881988·19891989的個位數(shù)是多少?解19871987=19874×496+3，個位為3；19881988=19884×497，個位為6；19891989=19894×497+1，個位為9，∴19871987·19881988·19891989個位數(shù)是3×6×9的個位數(shù)即為2.例2求的個位數(shù)字，解令M1=4747，M2=4747，…，Mn=則M1的個位數(shù)=4747的個位數(shù)=474×11+3的個位數(shù)=473的個位數(shù)=3，M2的個位數(shù)=47M1的個位數(shù)

3、=4747的個位數(shù)=3，……∴Mn的個位數(shù)=47Mn-1的個位數(shù)=…=3.一般地，我們有關(guān)于高次冪的一個有趣性質(zhì)：若b、c均為奇數(shù)，則Mbc的個位數(shù)=M的個位數(shù).對b、c取其它奇偶情況時，讀者不妨自己作出結(jié)論，并加以證明.（2）利用個位數(shù)來研究冪指數(shù)從上表中我們易得下面兩個性質(zhì)：1°.任何整數(shù)的4k+2次方個位數(shù)不可能為2、3、7、8.（只可能是0、1、4、5、6、9）2°.任何整數(shù)的4k+4次方個位數(shù)不可能是2、3、4、7、8、9.（只可能是1、5、6）例3試證明1+2+3+…+n，這n個連續(xù)的自

4、然數(shù)的和的個位數(shù)不可能是2、4、7、9.證明1+2+3+…+n=，由窮舉法易得n2+n個位數(shù)可能是2、6、0，故個位只能是1、6、3、8、0、5，不可能是2、4、7、8.例4證明方程x12-5y7-4=0不可能有整數(shù)解證明∵x12的個位數(shù)為1、6、5，5y7個位數(shù)只能是0或5，顯然x12-5y7-4永遠(yuǎn)不可能等于0，故方程無解.（3）判定一個整數(shù)是否能被整除例5已知整數(shù)a不能被5整除，試證明a4-1能被5整除.證明依題意知a的個位數(shù)不能是0或5.第4頁(共4頁)(i)當(dāng)a的個位數(shù)為1、3、7、9時，

5、a4的個位數(shù)均為1，于是a4-1的個位數(shù)為0(ii)當(dāng)a的個位數(shù)為2、4、6、8時，a4的個位數(shù)均為6，于是a4-1的個位數(shù)都是5.所以無論哪種情況，a4-1都能被5整除.例6（匈牙利1900—1901競賽試題）證明當(dāng)且僅當(dāng)指數(shù)n不能被4整除時1n+2n+3n+4n能被5整除.（其中n是正整數(shù)）證明設(shè)A=1n+2n+3n+4n，當(dāng)n=4k(k為整數(shù))時，1n、3n的個位數(shù)均為1，2n、4n的個位均為6，顯然5A.當(dāng)n≠4k時，若n=4k+1，易知A的個位=（1+2+3+4）的個位=0，∴5

6、A；當(dāng)n

7、=4k+2時，A的個位=（1+4+9+16）的個位=0，∴5

8、A.當(dāng)n=4k+3時，A的個位=（1+8+27+64）的個位=0，∴5

9、A.綜上所述僅當(dāng)n不是4的倍數(shù)時5

10、A.（1）其它類型例7（日本1990年參加國際數(shù)學(xué)競賽國內(nèi)選拔賽）某正整數(shù)之平方，其末三位是非零的相同數(shù)字，求具有該性質(zhì)的最小正整數(shù).解設(shè)所求數(shù)為p＞0,p2既具有末三位數(shù),則p2至少有三位數(shù),p至少有二位數(shù).設(shè)p=10a±b(a、b為正整數(shù)，1≤b≤5)p2=100a2±20ab+b2=100a2+10(±2ab)+b2驗證知當(dāng)b

11、=1、3、5、4時，p2的十位和個位數(shù)字奇偶性相反；當(dāng)b=2時，p2的末兩位數(shù)字奇偶性相同.所以所求數(shù)必須形如10a±2，而P=12時P2=144，末兩位數(shù)字為4.又注意（50n±x）2=2500n+100nx+x2=100（25n2+nx）+x2∴(50n2±12)2=100(25n2±nx)+144.容易驗證上式中當(dāng)n=1，并取“-”號時，有382=1444便是符合要求的最小正整數(shù).1．完全平方數(shù)定義設(shè)n是正整數(shù)，若存在正整數(shù)m使n=m2，稱n是一個完全平方數(shù).與完全平方數(shù)有關(guān)的問題經(jīng)常出現(xiàn)在國

12、內(nèi)外中學(xué)數(shù)學(xué)競賽題及各種智力問題征解中，這些問題不僅結(jié)論奇妙，且解法耐人尋味.（1）判斷一個數(shù)是完全平方數(shù)先看一個限時一分鐘解答的選擇題：例8有四個數(shù)①921438，②76186，③750235，④2660161，其中只有____是完全平方數(shù).在回答這一問題前，我們先介紹兩條性質(zhì)（請讀者自己證明）性質(zhì)1完全平方數(shù)個位數(shù)只能是0，1，4，5，6，9之一.性質(zhì)2偶數(shù)平方為偶數(shù)，且能被4整除，奇數(shù)的平方是奇數(shù)，且被4除余1.據(jù)上述性質(zhì)可知，例8中①個位數(shù)為8；②為偶數(shù)但不能