談簡易邏輯中命題的否定

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1、數(shù)學(xué)是一門邏輯性很強(qiáng)的學(xué)科，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)處處涉及命題之間的邏輯的關(guān)系和推理論證?！度罩破胀ǜ呒壷袑W(xué)教科書（試驗(yàn)本）數(shù)學(xué)》的新教材第一冊（上）的第一章新增“簡易邏輯”內(nèi)容，介紹一些簡單而又實(shí)用的邏輯知識，本意是讓學(xué)生弄清命題之間的邏輯關(guān)系，自覺地使用邏輯規(guī)則，避免一些易犯的錯(cuò)誤，從而增強(qiáng)判斷是非能力和推理能力，提高數(shù)學(xué)思維能力?！　∮捎谛略鰞?nèi)容，對于高一新生來說是較為抽象，在理解上尚一定難度，加之資料書上對這方面談得少，且我們在線教師不熟悉，知識上存在一定缺陷。至此本人根據(jù)自已參與新教材的教學(xué)實(shí)踐，談?wù)勅绾蝸順?gòu)造比較合理的命題的否定，供師

2、生們參考。　　首先我們要理解好命題否定“非”的認(rèn)識?！胺恰泵}是對原命題結(jié)論的否定。一個(gè)命題p經(jīng)過使用邏輯聯(lián)結(jié)詞“非”，就構(gòu)成一個(gè)復(fù)合命題“非p”（記作“┓P”）稱為命題的否定。“非P”叫做命題P的非命題，也叫做命題P的否定?！胺荘”形式的復(fù)合命題的真值與原命題P的真值為一真一假，一假一真，構(gòu)成一對矛盾命題。但“非P”絕不是“是”與“不是”的簡單演譯?！逗喴走壿嫛芬还?jié)中涉及到命題的否定無外乎下面幾種類型：單稱命題的否定即簡單命題的否定，存在性命題的否定，全稱性命題的否定，復(fù)合命題“P且q”、“P或q”的否定。下面一一試述：??1簡單命題

3、的否定在邏輯聯(lián)結(jié)詞中的最簡單命題形式是“P是q”它的否定是“P不是q”或“并非P是q”。其中P是一個(gè)特定對象?！　±?寫出下列命題的否定。　?。?）是有理數(shù)?！　。?）菱形的對角線互相垂直?！　。?）N{xR︱x＞–2}.　?。?）方程=1沒有實(shí)數(shù)根?！　〗?（1）的否定：不是有理數(shù)?；蛘呤遣⒎鞘怯欣頂?shù)?！　。?）的否定：菱形的對角線不互相垂直。　?。?）的否定：N{xR︱x＞–2}。　?。?）的否定：方程=1有x≠3的實(shí)數(shù)根。???2復(fù)合命題“P且q”；“P或q”形式的否定。　　給定命題P、q，用聯(lián)結(jié)詞“且”來構(gòu)成的復(fù)合命題“P且q”

4、叫做命題P、q的合取命題（也叫聯(lián)言命題）。記作Pq.用聯(lián)結(jié)詞“或”來構(gòu)成的復(fù)合命題“P或q”叫做命題P、q的析取命題（也叫選言命題）。記作Pq。它的否定可以通過真值表來：(“1”表示真，“0”表示假)　　PqPqPq┓(Pq)┓(Pq)┓P┓q┓P┓q　　11110000　　10011001　　01011001　　00001111　?從表可知：┓(Pq)與┓P┓q的真值相同；┓(Pq)與┓P┓q的真值相同，故它們分別是等價(jià)命題，因而我們認(rèn)為“P且q“的否定為：“非P或非q”；“P或q”的否定為“非P且非q”。用符號語言表示：　　┓(Pq

5、)=┓P┓q┓(Pq)=┓P┓q　　從而知命題“Pq”和“Pq”的否定：既否定命題P,q;又改變聯(lián)結(jié)詞?！　±?寫出下列命題的否定?！　?1)a=±5?！　?2)f(x)=0既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)?！　?3)5是10的約數(shù)且是15的約數(shù)?！　?4)2+2=5或3<2?！　?5)AB∥CD　　(6)a,b都是0?！　〗猓?）的否定：a≠5且a≠–5。（原命題屬于P或q型）　?。?）的否定：f(x)不是奇函數(shù)或不是偶函數(shù)。（原命題屬于P且q型）　　（3）的否定：5不是10的約數(shù)或5不是15的約數(shù)?！　。?）的否定：2+2≠5且3≥2?！　。?

6、）的否定：AB∥CD或AB≠CD?！　。?）的否定：“a,b不都是0”或者“a≠0或b≠0”。　　可見回應(yīng)了原命題與其否定命題是一對矛盾命題。　　3復(fù)合命題“若P則q”形式的否定?！　叭鬚則q”（記作Pq）型命題的否定實(shí)質(zhì)上較復(fù)雜，但在中學(xué)數(shù)學(xué)里所研究的命題都是具有實(shí)質(zhì)性蘊(yùn)涵關(guān)系的命題，是具有真假性的命題，不能區(qū)分真假性的命題不作研究?！?當(dāng)語句P和q能判斷其真假時(shí)就成為命題，那么“若P則q”就是邏輯中的蘊(yùn)涵關(guān)系，其否定形式不妨用真值表來解決。(用“1”表示真，“0”表示假)　　Pq┓qPq┓Pq┓(Pq)P(┓q)P(┓q)　　110

7、11000　　10100111　　01011001　　00111001　　從表可知，“若P則q”的否定命題真值性與命題“P且非q”相同，故是等價(jià)命題。我們就此認(rèn)為：命題”若P則q”的否定為“P且非q”，且習(xí)慣表達(dá)為“雖然P，卻非q”的形式，或是“盡管P，然而非q”.用符號語言表示：　　┓(Pq)=P(┓q)或┓(Pq)=┓（┓Pq）=P(┓q)　　例3寫出下列命題的否定?！　。?）若x2+y2=0，則x,y全為0?！　。?）若x=2或x=–1則x2-x-2=0.　?。?）若集合B真包含集合A，則集合A包含于集合B?！　〗猓海?）的否定：

8、雖然x2+y2=0，但是x和y不全為0?！　。?）的否定：雖然x=2或x=–1，但x2-x-2≠0.?！　。?）的否定：盡管集合B真包含集合A，然而集合A不包含于集合B?！　〉诮虒W(xué)中發(fā)現(xiàn)有些師生把例3的答