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《第六章定積分及其應(yīng)用》由會員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、第六章定積分及其應(yīng)用一、定積分定義若存在，且極限值與區(qū)間的分劃、點(diǎn)的取法無關(guān)，則稱f(x)在[a,b]上可積。記。幾何意義：當(dāng)f(x)≥0,表示以曲線y=f(x)為頂?shù)那吿菪蚊娣e（即：由曲線y=f(x)及x軸、直線x=a、x=b所圍區(qū)域面積）。二、連續(xù)函數(shù)原函數(shù)存在定理如果函數(shù)f(t)在[a,b]上有定義且連續(xù)，則積分上限的函數(shù)在[a,b]上可導(dǎo)，并且它的導(dǎo)數(shù)為1）變上限積分的導(dǎo)數(shù)例1：設(shè)求.解：。2）變下限積分的導(dǎo)數(shù)例2：設(shè)求dy.解：dy=y’dx=.3）復(fù)合上限積分的導(dǎo)數(shù)例3：設(shè)求.解：設(shè)u=x2,則三、定積分性質(zhì)（1）即：常數(shù)可提出積分號外。（2）即
2、：代數(shù)和的積分等于積分的代數(shù)和。（3）即：對調(diào)積分的上、下限，應(yīng)改變符號。（4）即：若積分的上、下限相同，則積分值為零。（5）即：積分區(qū)間的可加性。例1：設(shè)，求解：例2：求解：先將被積函數(shù)的絕對號脫去：，于是（6）如果在[a,b]上，f(x)≤g(x),則。例：在[0，1]上，特別是：如果在[a,b]上，f(x)≥0,則。（7）如果在[a,b]上，m≤f(x)≤M,則例：在[0，1]上，故。又于是12。（8）若在[a,b]上，f(x)可積，則也可積（但反之不成立），且。反例：在[a,b]上不可積，但=1在[a,b]上連續(xù)、可積。四、定積分的計算牛頓—萊布尼茲公
3、式：若f(x)在[a,b]上連續(xù)，則其中F(x)是f(x)的一個原函數(shù)。例：（1）。（2）。（3）。（4）註.定積分的換元變換需跟著換限。例1：求。解：設(shè)則x=t2,dx=2tdt,例2：設(shè)f(x)是可積函數(shù)，試證：。證明：對積分作變量替換：則當(dāng)x=0時，；當(dāng)時，t=0;所以有註.定積分與積分變量無關(guān)。例3：證明從而說明奇函數(shù)在對稱區(qū)間的積分為零。證明：對作變量替換：x=-t,則dx=-dt,當(dāng)x=-a,t=a;當(dāng)x=a,t=-a;所以，若f(x)是奇函數(shù)，則f(-x)=-f(x),從而,移項(xiàng)，得，于是，即：奇函數(shù)在對稱區(qū)間的積分為零。例如：。五、定積分的幾何
4、應(yīng)用1）求平面區(qū)域面積由曲線y=f(x),y=g(x)及直線x=a,x=b圍成的區(qū)域面積A=。例：求x2=8y與它及x軸圍成的區(qū)域面積。解：曲線在點(diǎn)A（4，2）處切線方程：y-2=x-4,即：y=x-2,A先做平面區(qū)域圖形，2面積A=1）求旋轉(zhuǎn)體體積由曲線y=f(x)，，繞x軸旋轉(zhuǎn)生成的旋轉(zhuǎn)體體積。由曲線x=g(y)，，繞y軸旋轉(zhuǎn)生成的旋轉(zhuǎn)體體積。例：求由曲線繞1）x軸,2）y軸旋轉(zhuǎn)生成的旋轉(zhuǎn)體體積。解：繞x軸旋轉(zhuǎn)生成的旋轉(zhuǎn)體體積。0繞y軸旋轉(zhuǎn)生成的旋轉(zhuǎn)體體積3)求曲線弧長直角坐標(biāo)系曲線y=f(x)，，弧長;參數(shù)曲線,弧長極坐標(biāo)系曲線,，弧長
