考慮年齡結(jié)構(gòu)的人口模型（leslie模型）

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1、考慮年齡結(jié)構(gòu)的人口模型（Leslie模型）對Logistic模型的批評意見除了實際統(tǒng)計時常采用離散變化的時間變量外，另一種看法是種群增長不應(yīng)當(dāng)只和種群總量有關(guān)，也應(yīng)當(dāng)和種群的年齡結(jié)構(gòu)有關(guān)。不同年齡的個體具有不同的生育能力和死亡率，這一重要特征沒有在Logistic模型中反映出來。基于這一事實，Leslie在20世紀(jì)40年代建立了一個考慮種群年齡結(jié)構(gòu)的離散模型。由于男、女性人口（或雌、雄性個體）通常有一定的比例，為了簡便起見，建模時可以只考慮女性人數(shù)，人口總量可以按比例折算出來。將女性按年齡劃分成m+1個組，即0,1,…,m組，例如，可5歲（或10歲）一組劃分。將時間

2、也離散成間隔相同的一個個時段，即5年（或10年）為一個時段。記j時段年齡在i組中的女性人數(shù)為N（i,j），bi為i組每一婦女在一個時段中生育女孩的平均數(shù)，為i組女性存活一時段到下一時段升入i+1組的人數(shù)所占的比例（即死亡率di=1-）同時假設(shè)沒有人能活到超過m組的年齡。實際上可以這樣來理解這一假設(shè)，少量活到超過m組的婦女（老壽星）人數(shù)可以忽略不計，她們早已超過了生育期，對人口總量的影響是微小的而且是暫時性的，對今后人口的增長和人口的年齡結(jié)構(gòu)不產(chǎn)生任何影響，假設(shè)bi、不隨時段的變遷而改變，這一假設(shè)在穩(wěn)定狀況下是合理的。如果研究的時間跨度不過于大，人們的生活水平、整個社

3、會的醫(yī)療條件及周圍的生活環(huán)境沒有過于巨大的變化，bi、事實上差不多是不變的，其值可通過統(tǒng)計資料估算出來。根據(jù)以上假設(shè)可以得出以下j+1時段各組人數(shù)與j時段各組人數(shù)之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系：顯然，。簡記，并引入矩陣則方程組（4.28）可簡寫成矩陣A被稱為Leslie矩陣（或射影矩陣），當(dāng)矩陣A與按年齡組分布的初始種群向量N0=(N(0,0)，N(1,0)，…，N(m,0))T一經(jīng)給定時，其后任一時段種群按年齡分布的向量即可用（4.29）式迭代求得人口（或種群）的增長是否合理不僅僅取決于人口的總量是否過多或過少，還取決于整個的年齡結(jié)構(gòu)是否合理即各年齡段人口數(shù)的比例是否恰當(dāng)。通過對

4、Leslie矩陣A的研究，可以得到許多十分有用的信息。女性有一定的生育期，例如k組以后的女性不再生育，則有bk≠0，bk+1，…，bm均為零（初始若干個bi也可能為零），此時A可簡記為其中A1和A2分別為k+1階和m-k階方陣，于是因為A3是一個下三角陣且對角元素全為零，由高等代數(shù)中的哈密頓一凱萊定理，當(dāng)時必有，此時Aj的最后m-k列均為零向量。其實際意義為t=0時已超過育齡的女性，其目前的存在對若干年后的人口分布已毫無影響，她對人口發(fā)展的貢獻(xiàn)將由她在此前所生育的女孩來完成，這一點當(dāng)然是十分顯然的。f(A1,A2,A3)為某一用A1、A2、A3表達(dá)的表示式，Aj的這

5、一子塊較為復(fù)雜，并直接反映出k+1組以后各組的年齡結(jié)構(gòu)，對它的討論可以導(dǎo)出避免社會老齡化的條件?，F(xiàn)在，我們來研究一下Leslie矩陣，并進(jìn)而研究時間充分長后種群的年齡結(jié)構(gòu)及數(shù)量上的趨勢。容易看出A1是非奇異的，因為事實上，不難直接驗證：由Aj的分塊結(jié)構(gòu)可知，對A1及Nj+1的前k+1個分量也成立。為敘述方便，不妨仍記為Nj，并記A1為A，簡略討論一下前k+1組人口數(shù)量的變化情況。由于人口生育率和死亡率與年齡之間存在著固定的關(guān)系，可以預(yù)料，經(jīng)過足夠多年后，人口年齡分布應(yīng)趨于穩(wěn)定的比率，即下時段初與本時段初同組人數(shù)應(yīng)當(dāng)近似地對應(yīng)或比率，且各組人數(shù)在總?cè)丝跀?shù)中所占的比例應(yīng)

6、逐漸趨于穩(wěn)定。現(xiàn)在我們來指出Leslie矩陣的一些性質(zhì)，并證明這些預(yù)料是正確的。定理4.2Leslie矩陣具有唯一的正特征根λ1,與之相應(yīng)的特征向量為證直接計算可得A的特征多項式為（4.1）等價于當(dāng)由時，由單調(diào)下降地趨于零，由此立即可以看出A具有唯一的正特征根，（被稱為種群的固有增長率，其計算法有許多文獻(xiàn)介紹）?，F(xiàn)求A的對應(yīng)于的特征向量，記，解線性方程組，即（4.2）（4.2）式中只有k個獨立方程，但有k+1個未知量，取，可求得（4.3）不難看出，當(dāng)且僅當(dāng)時，，人口總量將趨于定且各年齡人數(shù)在總?cè)丝跀?shù)中所占的比例也將趨于一個定值。在固定的情況下，只和有關(guān)（i=0,…,

7、k-1）。為i組人的存活率，人們總希望它們越大越好，但由于醫(yī)療條件和醫(yī)學(xué)水平的限止，在一定時期內(nèi)，它們基本上是一些常數(shù)，這樣，事實上人們只能通過控制bj的值（即實行計劃生育）來保證，從而使人口數(shù)趨于穩(wěn)定。如能實現(xiàn)這一目標(biāo)，各年齡組人數(shù)之比將無法更改地趨于一個穩(wěn)定的比例（除非pi的值改變）。如果將Leslie模型用于家禽或家畜預(yù)測，情況就有了較大的不同，人們不僅可以控制各年齡段的繁殖率bi，還可以通過宰殺來控制各年齡段的存活率pi。從而，人們不僅可以控制該種群的總量，還能人為地調(diào)整各年齡段種群的比例，使之達(dá)到更為理想的狀態(tài)。在定理4.2中，我們證明了是Leslie