預測系列Leslie人口模型.doc

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1、Leslie人口模型現(xiàn)在我們來建立一個簡單的離散的人口增長模型，借用差分方程模型，僅考慮女性人口的發(fā)展變化。如果僅把所有的女性分成為未成年的和成年的兩組，則人口的年齡結(jié)構無法刻劃，因此必須建立一個更精確的模型。20世紀40年代提出的Leslie人口模型，就是一個預測人口按年齡組變化的離散模型。模型假設(1)將時間離散化，假設男女人口的性別比為1:1，因此本模型僅考慮女性人口的發(fā)展變化。假設女性最大年齡為歲，將其等間隔劃分成個年齡段，不妨假設為的整數(shù)倍，每隔年觀察一次，不考慮同一時間間隔內(nèi)人口數(shù)量的

2、變化;(2)記為第個年齡組次觀察的女性總?cè)藬?shù)，記第年齡組女性生育率為（注：所謂女性生育率指生女率），女性死亡率為，記假設不隨時間變化;(3)不考慮生存空間等自然資源的制約,不考慮意外災難等因素對人口變化的影響;(4)生育率僅與年齡段有關，存活率也僅與年齡段有關。建立模型與求解根據(jù)以上假設，可得到方程=,2.…,-1寫成矩陣形式為其中，L=（1）記（2）假設n（0）和矩陣L已經(jīng)由統(tǒng)計資料給出，則為了討論女性人口年齡結(jié)構的長遠變化趨勢，我們先給出如下兩個條件：(i)si>0，i=1，2，…，m-1;(

3、ii)bi，i=1，2，…，m，且bi不全為零。易見，對于人口模型，這兩個條件是很容易滿足的。在條件（i）、（ii）下，下面的結(jié)果是成立的：定理1L矩陣有唯一的單重的正的特征根，且對應的一個特征向量為=[1，s1/，s1s2/，…，s1s2…sm-1/]T（3）定理2若是矩陣的任意一個特征根，則必有。定理3若第一行中至少有兩個順次的，則（i）若是矩陣L的任意一個特征根，則必有。（ii）=，（4）其中c是與n（0）有關的常數(shù)。定理1至定理3的證明這里省去。由定理3的結(jié)論知道，當t充分大時，有(5)定

4、理4記，q（）=/+/2+…+/，則是L的非零特征根的充分必要條件為q（）=1（6）所以當時間充分大時，女性人口的年齡結(jié)構向量趨于穩(wěn)定狀態(tài)，即年齡結(jié)構趨于穩(wěn)定形態(tài)，而各個年齡組的人口數(shù)近似地按－1的比例增長。由（5）式可得到如下結(jié)論：(i)當>1時，人口數(shù)最終是遞增的；(ii)當<1時，人口數(shù)最終是遞減的；(iii)當=1時，人口數(shù)是穩(wěn)定的。根據(jù)（6）式，如果=1，則有b1+b2s1+b3s1s2+…+bms1s2…sm-1=1記R=b1+b2s1+b3s1s2+…+bms1s2…sm-1（7）R

5、稱為凈增長率，它的實際含義是每個婦女一生中所生女孩的平均數(shù)。當R>1時，人口遞增；當R<1時，人口遞減。Leslie模型有著廣泛應用，這里我們給出一個應用的例子，供大家參考。公園大象管理南非的一家大型自然公園放養(yǎng)了大約11000頭大象，管理部門希望為大象創(chuàng)造一個健康的生存環(huán)境，將大象的總數(shù)控制在11000頭左右。每年，公園的管理人員都要統(tǒng)計當年大象的總數(shù)。過去20年里，公園每年都要處理一些大象，以便保持大象總數(shù)維持在11000頭左右，通常都是采用捕殺或者遷移的方法來實現(xiàn)。統(tǒng)計表明，每年約處理600

6、-800頭大象。近年來，公眾強烈反對捕殺大象行為，而且即使是遷移少量的大象也是不允許的。但是一種新的給大象打避孕針的方法也被研制成功。一只成年母象打了避孕針后，兩年內(nèi)不再懷孕。公園有一些關于大象的資料，供建模參考：1幾乎不再遷入或遷出大象；2目前性別比接近1：1，采取控制后，也希望維持這個比例；3初生象的性別比也是大約1：1，生雙胎的比例為1.35%4母象初次懷孕大約在10-12歲,一直到60歲大約每3.5年懷胎一次,60歲后不再受孕,懷孕期為22個月；5避孕針可能引起大象每個月都發(fā)情,但不受孕,

7、因為大象通常每3.5年生育1次,所以按月循壞的方案是不足取的；6避孕針對母象沒有副作用,打了避孕針的母象2年內(nèi)不再受孕；7初生象存活到1歲的比例為70%-80%,此后,直至60歲前,存活率都比較均勻,大約在95%以上,大象一般只活到70歲；8公園里不存在捕殺行為,偷獵可以不考慮；公園管理部門有一份過去兩年移出公園大象的粗略統(tǒng)計,不幸的是沒有捕殺或公園大象的具體數(shù)據(jù)；你的任務是,構造一個模型,利用模型研究如何采用避孕措施控制公園大象的總數(shù).同時需要完成以下任務：1建立并利用模型推算2-60歲大象可能

8、的存活率,以及目前的大象年齡結(jié)構；2估計每年需要避孕多少大象,才能保證大象總數(shù)控制在11000頭左右,說明數(shù)據(jù)不確定性對你的結(jié)論的影響,評價一下年齡結(jié)構的變化以及對旅游的影響,(你可能被要求觀察30-60年)；3假設每年可以移出50-300頭大象,避孕大象數(shù)可以減少多少,評價如何根據(jù)經(jīng)濟效益平衡兩種方案；4有一些反對觀點認為,假如出現(xiàn)疾病或者失控的偷獵,使大象總數(shù)突然大幅度下降,即使停止避孕,也會對大象群的恢復存在不良影響,研究并回答這個問題；5公園公管理部門正在構造模型,特別希望