橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)

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1、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)1.橢圓定義：（1）第一定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和為常數(shù)的動點(diǎn)的軌跡叫橢圓,其中兩個(gè)定點(diǎn)叫橢圓的焦點(diǎn).當(dāng)時(shí),的軌跡為橢圓;;當(dāng)時(shí),的軌跡不存在;當(dāng)時(shí),的軌跡為以為端點(diǎn)的線段（2）橢圓的第二定義:平面內(nèi)到定點(diǎn)與定直線(定點(diǎn)不在定直線上)的距離之比是常數(shù)()的點(diǎn)的軌跡為橢圓（利用第二定義,可以實(shí)現(xiàn)橢圓上的動點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離相互轉(zhuǎn)化）.2.橢圓的方程與幾何性質(zhì):標(biāo)準(zhǔn)方程性質(zhì)參數(shù)關(guān)系焦點(diǎn)焦距范圍頂點(diǎn)對稱性關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對稱離心率準(zhǔn)線3.點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系

2、:當(dāng)時(shí),點(diǎn)在橢圓外;當(dāng)時(shí),點(diǎn)在橢圓內(nèi);當(dāng)時(shí),點(diǎn)在橢圓上;4.直線與橢圓的位置關(guān)系直線與橢圓相交;直線與橢圓相切;直線與橢圓相離例題分析：題1寫出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：⑴兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(-4,0)、（4，0），橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)1.橢圓定義：（1）第一定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和為常數(shù)的動點(diǎn)的軌跡叫橢圓,其中兩個(gè)定點(diǎn)叫橢圓的焦點(diǎn).當(dāng)時(shí),的軌跡為橢圓;;當(dāng)時(shí),的軌跡不存在;當(dāng)時(shí),的軌跡為以為端點(diǎn)的線段（2）橢圓的第二定義:平面內(nèi)到定點(diǎn)與定直線(定點(diǎn)不在定

3、直線上)的距離之比是常數(shù)()的點(diǎn)的軌跡為橢圓（利用第二定義,可以實(shí)現(xiàn)橢圓上的動點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離相互轉(zhuǎn)化）.2.橢圓的方程與幾何性質(zhì):標(biāo)準(zhǔn)方程性質(zhì)參數(shù)關(guān)系焦點(diǎn)焦距范圍頂點(diǎn)對稱性關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對稱離心率準(zhǔn)線3.點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系:當(dāng)時(shí),點(diǎn)在橢圓外;當(dāng)時(shí),點(diǎn)在橢圓內(nèi);當(dāng)時(shí),點(diǎn)在橢圓上;4.直線與橢圓的位置關(guān)系直線與橢圓相交;直線與橢圓相切;直線與橢圓相離例題分析：題1寫出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：⑴兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(-4,0)、（4，0），橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離之和等于10

4、；⑵兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是（0，－2）和（0,2）且過（,）(3)兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(-3，0)，(3，0)，橢圓經(jīng)過點(diǎn)(5，0).(4)兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(0，5)，(0，-5)，橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離和為26.(5)焦點(diǎn)在軸上，與軸的一個(gè)交點(diǎn)為P(0，－10)，P到它較近的一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于2.解：（1）因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為　　　　所以所求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為⑵因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為由橢圓的定義知，＋　　又所以所求標(biāo)準(zhǔn)方程為另法：∵∴可設(shè)所求方程，后將點(diǎn)（,）

5、的坐標(biāo)代入可求出，從而求出橢圓方程(3)∵橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為：∵，2c=6.∴∴∴所求橢圓的方程為：.(4)∵橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為.∴∴所求橢圓方程為：（5）∵橢圓的焦點(diǎn)在軸上，所以可設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為：∵Ｐ（０，－１０）在橢圓上，∴＝１０.又∵P到它較近的一焦點(diǎn)的距離等于2，∴－c－（－１０）＝２，故c=8.∴.∴所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.題2。已知B，C是兩個(gè)定點(diǎn)，｜BC｜＝6，且的周長等于16，求頂點(diǎn)A的軌跡方程解：以BC所在直線為軸，BC中垂線為軸建立直角

6、坐標(biāo)系，設(shè)頂點(diǎn)，根據(jù)已知條件得

7、AB

8、+

9、AC

10、=10再根據(jù)橢圓定義得所以頂點(diǎn)A的軌跡方程為（≠0）（特別強(qiáng)調(diào)檢驗(yàn))因?yàn)锳為△ABC的頂點(diǎn)，故點(diǎn)A不在軸上，所以方程中要注明≠0的條件題3。在△ABC中，BC=24，AC、AB的兩條中線之和為39,求△ABC的重心軌跡方程.分析：以BC所在直線為軸，BC的中垂線為軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，M為重心，則

11、MB

12、+

13、MC

14、=×39=26.根據(jù)橢圓定義可知，點(diǎn)M的軌跡是以B、C為焦點(diǎn)的橢圓，故所求橢圓方程為(≠0)題4。已知軸上的一定點(diǎn)A（1,0），

15、Q為橢圓上的動點(diǎn)，求AQ中點(diǎn)M的軌跡方程解：設(shè)動點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的坐標(biāo)為因?yàn)辄c(diǎn)為橢圓上的點(diǎn)，所以有，即所以點(diǎn)的軌跡方程是題5。長度為2的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A、B分別在軸、軸上滑動，點(diǎn)M分AB的比為，求點(diǎn)M的軌跡方程解：設(shè)動點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為因?yàn)椋杂?，即所以點(diǎn)的軌跡方程是題6。已知定圓，動圓M和已知圓內(nèi)切且過點(diǎn)P(-3，0)，求圓心M的軌跡及其方程分析：由兩圓內(nèi)切，圓心距等于半徑之差的絕對值根據(jù)圖形，用數(shù)學(xué)符號表示此結(jié)論：上式可以變形為，又因?yàn)?，所以圓心M的軌跡是以P，Q為焦點(diǎn)的橢圓解已

16、知圓可化為：圓心Q(3，0)，，所以P在定圓內(nèi)設(shè)動圓圓心為，則為半徑又圓M和圓Q內(nèi)切，所以，即，故M的軌跡是以P，Q為焦點(diǎn)的橢圓，且PQ中點(diǎn)為原點(diǎn)，所以，，故動圓圓心M的軌跡方程是：題7?！鰽BC的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是B(0，6)和C(0，-6)，另兩邊AB、AC的斜率的乘積是-，求頂點(diǎn)A的軌跡方程.選題意圖：鞏固求曲線方程的一般方法，建立借助方程對應(yīng)曲線后舍點(diǎn)的解題意思，訓(xùn)練根據(jù)條件對一些點(diǎn)進(jìn)行取舍.解：設(shè)頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為.依題意得，∴頂點(diǎn)A的軌跡方程為.說明：方程對