大數(shù)法則迷思

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1、大數(shù)法則的迷思陳祈嘉壹、前言一般人對於大數(shù)法則的認(rèn)知為：同類型的風(fēng)險單位越多，越能減少及分散保險公司本身的風(fēng)險，進而降低保險公司清償能力不足的風(fēng)險。但事實上，在某些情況下，承保件數(shù)的增加，不見得會降低保險公司破產(chǎn)的可能，全民健保就是一個很好的例子，本文的重點即在釐清大數(shù)法則的性質(zhì)、探討大數(shù)法則應(yīng)用上的限制，最後並提出補強的方式。貳、對大數(shù)法則的迷思（一）對大數(shù)法則的第一個迷思一般人對大數(shù)法則（或與其相關(guān)的中央極限定理〈CentralLimitTheorem,abbr.CLT〉）的認(rèn)知為風(fēng)險若n愈

2、大（或風(fēng)險單位越多），保險公司的風(fēng)險就愈??；換言之，即簽單的件數(shù)愈多，保險公司本身的經(jīng)營愈趨穩(wěn)定。在討論上述觀念是否有誤之前，首先要釐清的是，何為風(fēng)險？對保險公司而言，風(fēng)險有兩種定義方式：一種是保險事故發(fā)生的不確定性（定義一），另一種是指保險事故發(fā)生的可能性（定義二），事實上，這兩種觀念都有人採用，在本文為了避免定義上混淆，茲將定義一的風(fēng)險稱之為風(fēng)險發(fā)生與否的不確定性；將定義二的風(fēng)險稱之為保險公司的破產(chǎn)的可能性，以玆區(qū)別。在了解風(fēng)險之定義後，接者來看關(guān)於大數(shù)法則的定義：設(shè)有n個承保件數(shù)，Xi為獨

3、立隨機發(fā)生的保險事故，為Xi的期望值，為任意小的數(shù)且>0，下列公式就可以解釋大數(shù)法則之定義為：當(dāng)n趨近於時，的機率就趨近於0簡單的說，當(dāng)n增加時，實際損失結(jié)果將會非常接近於預(yù)期損失期望值。接著，我們好奇的是，當(dāng)n增加時保險公司的風(fēng)險會降低嗎？如果是定義一所謂的風(fēng)險，答案是「會的」；如果指的是定義二的風(fēng)險，亦即保險公司的破產(chǎn)的可能性，答案則是「不一定」。第二個答案會讓人有點意外，實際上，保險公司的破產(chǎn)機率要降低，所依靠的是保險公司財務(wù)能力的增強，而非n的增加；亦即當(dāng)每個人所貢獻的保費需大於預(yù)期損失

4、的前提下，雖然每增加一被保險人就會增加一個額外的風(fēng)險，但同時更會加強保險公司給付保險賠款的能力，才能降低保險公司的破產(chǎn)機率。為了更清楚了解爭議所在，茲舉一例子：假設(shè)一個意外險保險商品，其出險機率為0.05，保險費為NT$2,000，每一意外事故賠款金額為NT$20,000，假設(shè)保險公司只承接此業(yè)務(wù)時，其發(fā)生破產(chǎn)的機率如下：【圖表一】承保單位可以容忍的出險次數(shù)破產(chǎn)機率100.0500200.0975300.1426...900.36981010.08621110.1318...1910.24532

5、020.07542120.0849...關(guān)於上表的破產(chǎn)機率可用下列圖示：【圖表二】我們可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)n增加時，破產(chǎn)機率會呈現(xiàn)不連續(xù)函數(shù)，但就整體來看，破產(chǎn)機率確實隨著承保件數(shù)增加，而有逐漸下滑的趨勢。但需注意的是，上述的例子乃是基於保費大於預(yù)期損失為前提；若保費小於預(yù)期損失就不會出現(xiàn)如上之結(jié)果。再舉一例：假設(shè)一個意外險保險商品，其出險機率改為0.2，其他不變，保險費為2,000，每一意外事故賠款金額為20,000，假設(shè)保險公司只承接此業(yè)務(wù)時，其發(fā)生破產(chǎn)的機率如下：【圖表三】承保單位可以容忍的出險次數(shù)

6、破產(chǎn)機率100.2200.36300.488...900.86581010.62421110.6779...1910.91712020.79392120.8213...關(guān)於上表的破產(chǎn)機率可用下列圖示：【圖表四】從圖表二及圖表四可以看出，保險公司要透過大數(shù)法則降低自身的破產(chǎn)風(fēng)險，其前提要件是所收保費必須大於預(yù)期損失，否則承保的件數(shù)愈多，保險公司的破產(chǎn)危險反而愈高。（二）對大數(shù)法則的第二個迷思（1）累積的風(fēng)險是否必需具有同質(zhì)性一般人對大數(shù)法則的第2個迷思是：除了要大量增加承保件數(shù)外，其所承接的危險單

7、位性質(zhì)更應(yīng)趨於一致（危險同質(zhì)性），方能獲得大數(shù)法則作用之危險平均化，讓大數(shù)法則發(fā)揮效用。也就是說一般人的觀念裡，若欲以大數(shù)法則降低該險種的風(fēng)險，就要儘量累積該險種的同質(zhì)性風(fēng)險，傳統(tǒng)承保方式是依照各個核保風(fēng)險，諸如汽車險、火險、水險等來分別承保，對於當(dāng)中任何一個核保風(fēng)險，例如火險，保險人為往往會努力去增加火險的承保件數(shù)，以達成大數(shù)法則下風(fēng)險降低的效果。（2）風(fēng)險之間具有高度相關(guān)性時先前圖表一及圖表三的結(jié)果均是基於所有損失發(fā)生都是獨立隨機分佈為前提（independentidenticaldistr

8、ibution），事實上有些損失的發(fā)生彼此之間具有相關(guān)性（即有外在的共同因素所影響，例如：責(zé)任險會受法令變更所影響，財產(chǎn)險會受氣候因素所影響。）在許多保險學(xué)的教材中多有提到：大數(shù)法則要在保險經(jīng)營發(fā)揮效用，不僅要訂立大量良質(zhì)契約，更應(yīng)將所承受危險單位的性質(zhì)僅量趨於一致（同質(zhì)性），以期獲得大數(shù)法則作用之危險平均化，符合統(tǒng)計性法則。這樣的觀念是合理的，但需注意的是，有些險種每一危險單位其風(fēng)險間具有高度的正相關(guān)性（例如颱風(fēng)洪水險）。這樣的險種即使將簽單件數(shù)增加，也無法大幅的降低或分散風(fēng)險。圖表五隨著承保