數(shù)學(xué)開(kāi)放題的教學(xué)探討

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1、數(shù)學(xué)開(kāi)放題的教學(xué)探討胡云端湖北省安陸市孛畈中心學(xué)校湖北安陸4326001993年全國(guó)高考數(shù)學(xué)科命題組就指出：“要考查一些開(kāi)放問(wèn)題”，當(dāng)前數(shù)學(xué)開(kāi)放題之所以引起我們中學(xué)數(shù)學(xué)教師的關(guān)注，我以為一是以實(shí)踐能力、創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)為核心的素質(zhì)教育的深入的需要．?dāng)?shù)學(xué)開(kāi)放題對(duì)培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性（結(jié)論開(kāi)放）、聚斂性(條件開(kāi)放)、創(chuàng)造性（策略開(kāi)放），不失為好載體．二是高考命題的導(dǎo)向作用，數(shù)學(xué)開(kāi)放題走進(jìn)高考試卷的需要．三是數(shù)學(xué)走向應(yīng)用的需要．我們的數(shù)學(xué)教育不僅要讓學(xué)生學(xué)會(huì)繼續(xù)深造所必需的數(shù)學(xué)基本知識(shí)，基本方法，基本技能，更重要的是讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光看待世界，用數(shù)學(xué)的思維方式去觀察分析現(xiàn)實(shí)社會(huì)，去解

2、決現(xiàn)實(shí)生活中的問(wèn)題．為了滿(mǎn)足上述三方面的需要，必需將開(kāi)放題引進(jìn)課堂教學(xué)．本文談對(duì)數(shù)學(xué)開(kāi)放題教學(xué)的一些認(rèn)識(shí)，不當(dāng)之處，謹(jǐn)請(qǐng)多多指教．１、砸破籬笆，讓學(xué)生展開(kāi)想象的翅膀青少年時(shí)代是一生中最富有活力、充滿(mǎn)想象的時(shí)代．開(kāi)放題往往形式活潑，供學(xué)生思考的角度眾多，思維活動(dòng)的空間寬闊，正好給青少年學(xué)生提供了一個(gè)展翅的舞臺(tái)．而封閉題往往形式單一，要求學(xué)生在特定的范圍內(nèi)進(jìn)行定向思維．長(zhǎng)期作這類(lèi)機(jī)械式的思維訓(xùn)練，學(xué)生的思維中將立起一道道難以逾越的籬笆．這樣的教學(xué)活動(dòng)，不僅沒(méi)有促進(jìn)學(xué)生進(jìn)一步開(kāi)放自己，反而束縛了他們的思想．通過(guò)開(kāi)放式教學(xué)，可以讓學(xué)生砸破這些禁錮思想的籬笆，展開(kāi)想象的翅膀，自由地發(fā)揮自身

3、才華．根據(jù)我校搬遷前曾有一塊操場(chǎng)需要改造這一實(shí)際，我們編擬：開(kāi)放題１我校準(zhǔn)備在長(zhǎng)120米，寬100米的空地上建造操場(chǎng)，請(qǐng)同學(xué)們?cè)O(shè)計(jì)操場(chǎng)形狀，思考能否造出滿(mǎn)足以下條件的環(huán)形操場(chǎng)．①每道跑道寬1.22米；②跑道用直線或圓弧吻接；③跑道共八道且內(nèi)圈為300米．4本題有學(xué)生認(rèn)為不能造出滿(mǎn)足要求的操場(chǎng)，他認(rèn)為操場(chǎng)應(yīng)由兩個(gè)半圓和一個(gè)矩形構(gòu)成（如圖１），經(jīng)計(jì)算，跑道內(nèi)圈無(wú)論如何達(dá)不到300米的要求．也有學(xué)生認(rèn)為能造出滿(mǎn)足要求的操場(chǎng)，可將操場(chǎng)設(shè)計(jì)成如圖２，由四個(gè)四分之一圓弧及五個(gè)矩形構(gòu)成．還有學(xué)生將操場(chǎng)設(shè)計(jì)成如圖３，彎道部分由三段圓弧組成，他們認(rèn)為這樣才是操場(chǎng)．更有學(xué)生將操場(chǎng)設(shè)計(jì)成花園式（如圖４

4、），跑道全部由圓弧組成，他們認(rèn)為這樣的操場(chǎng)更美．開(kāi)放題2用一塊長(zhǎng)2米，寬1.6米的玻璃加工出橢圓形鏡子（鏡面為完整的一體）．①要使鏡面面積最大，該如何設(shè)計(jì)加工鏡子(注S橢=)．本題主要考察學(xué)生如何畫(huà)出橢圓，培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力．可以用硬紙板代替玻璃，讓學(xué)生親手畫(huà)一畫(huà)，動(dòng)手截一下．學(xué)生至少可從以下幾個(gè)角度去思考:①建立坐標(biāo)系，寫(xiě)出方程描點(diǎn)；②確定焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)，由第一定義得到；③用解析幾何課本P116橢圓參數(shù)方程的定義；④用橢圓規(guī)工作原理(P124)．2、傳授定式，幫學(xué)生克服畏懼的心理開(kāi)放題引入課堂教學(xué)之初，學(xué)生的表現(xiàn)往往士為一是覺(jué)得好奇，感到有趣；二是感到畏懼，不知從何處入手．這就要

5、求我們教師介紹一些典型開(kāi)放題的求解思路，幫學(xué)生建立科學(xué)的思維定式．⑴尋找充分條件型開(kāi)放題．開(kāi)放題3　在直四棱柱中（如圖５），當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿(mǎn)足條件時(shí)，有（填上你認(rèn)為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情形1998高考卷第18題）．這類(lèi)題型，只需找到能使結(jié)論成立的一個(gè)充分條件即可，而不必去尋找結(jié)論成立的充要條件．這類(lèi)問(wèn)題的要求并不高，可考慮特殊值或極端情形，從而找出充分條件．這一點(diǎn)，學(xué)生一開(kāi)始往往不習(xí)慣．⑵“是否存在”型開(kāi)放題．開(kāi)放題4設(shè){}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列,是其前n項(xiàng)和.是否存在常數(shù)Ｃ>0,使得成立？并證明你的結(jié)論（1995高考卷第25題）．這類(lèi)開(kāi)放題的答案，不是肯

6、定就是否定，開(kāi)放度較?。簟按嬖凇保褪蔷哂羞m合條件的某種數(shù)學(xué)對(duì)象，無(wú)論用什么方法，只要找出一個(gè)就說(shuō)明存在．若“不存在”，一般需要有嚴(yán)格的推理論證．故這類(lèi)“是否存在”型開(kāi)放題的解4決思路一般為，先假設(shè)存在滿(mǎn)足條件的數(shù)學(xué)對(duì)象，如果找出矛盾，說(shuō)明假設(shè)不成立，進(jìn)而否定假設(shè)，如果經(jīng)過(guò)嚴(yán)格推理，沒(méi)有找到矛盾，說(shuō)明確實(shí)存在，找出滿(mǎn)足條件的一個(gè)對(duì)象即可．⑶猜想型開(kāi)放題．開(kāi)放題5已知數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,b1＋b2＋……＋bｎ＝145，b1=1．①求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)bn；②設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)an=其中a＞0且a≠1），sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，試比較sn與的大小(1998高考理科第25

7、題)．解答這類(lèi)開(kāi)放題，要求學(xué)生學(xué)會(huì)猜想．可我們?cè)谌粘＝虒W(xué)中，往往過(guò)分強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)學(xué)科的嚴(yán)謹(jǐn)性和科學(xué)性，忽視實(shí)驗(yàn)猜想等合情推理能力的培養(yǎng)，讓學(xué)生覺(jué)得數(shù)學(xué)枯燥、無(wú)趣、難學(xué)．我們應(yīng)該教會(huì)學(xué)生如何猜想．教學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)、觀察，進(jìn)行猜想，教學(xué)生通過(guò)對(duì)特例（特殊值）的分析、歸納,猜想一般的規(guī)律（共性），教學(xué)生通過(guò)比較、概括得到猜想，教學(xué)生對(duì)具體問(wèn)題的特殊解從宏觀上作出估算．先有猜想，再作嚴(yán)密的數(shù)學(xué)證明．這樣“既教猜想，又教證明”，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)也是生動(dòng)活潑，充滿(mǎn)激情，并富有哲理的一門(mén)學(xué)科．不至于