培優(yōu)輔導(dǎo)： 因動點產(chǎn)生的相似三角形問題

《培優(yōu)輔導(dǎo)： 因動點產(chǎn)生的相似三角形問題》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。

1、培優(yōu)輔導(dǎo)：因動點產(chǎn)生的相似三角形問題（2016/4/1郭艷超）例1如圖1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，動點P從點B出發(fā)，在BA邊上以每秒5cm的速度向點A勻速運動，同時動點Q從點C出發(fā)，在CB邊上以每秒4cm的速度向點B勻速運動，運動時間為t秒（0＜t＜2），連接PQ．（1）若△BPQ與△ABC相似，求t的值；（2）如圖2，連接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值；（3）試證明：PQ的中點在△ABC的一條中位線上．圖1圖2思路點撥1．△BPQ與△ABC有公共角，按照夾角相等，對應(yīng)邊成比例，分兩種情況列方程．2．作PD⊥BC于D

2、，動點P、Q的速度，暗含了BD＝CQ．3．PQ的中點H在哪條中位線上？畫兩個不同時刻P、Q、H的位置，一目了然．滿分解答（1）Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，所以AB＝10．△BPQ與△ABC相似，存在兩種情況：①如果，那么．解得t＝1．圖3圖4②如果，那么．解得．（2）作PD⊥BC，垂足為D．在Rt△BPD中，BP＝5t，cosB＝，所以BD＝BPcosB＝4t，PD＝3t．圖5圖6當(dāng)AQ⊥CP時，△ACQ∽△CDP．所以，即．解得．（3）如圖4，過PQ的中點H作BC的垂線，垂足為F，交AB于E．由于H是PQ的中點，HF//PD，所以F是QD的中點．又

3、因為BD＝CQ＝4t，所以BF＝CF．因此F是BC的中點，E是AB的中點．所以PQ的中點H在△ABC的中位線EF上．考點伸展本題情景下，如果以PQ為直徑的⊙H與△ABC的邊相切，求t的值．如圖7，當(dāng)⊙H與AB相切時，QP⊥AB，就是，．如圖8，當(dāng)⊙H與BC相切時，PQ⊥BC，就是，t＝1．如圖9，當(dāng)⊙H與AC相切時，直徑，半徑等于FC＝4．所以．解得，或t＝0（如圖10，但是與已知0＜t＜2矛盾）．圖7圖8圖9圖10例22013年上海市中考第24題如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，頂點為M的拋物線y＝ax2＋bx（a＞0）經(jīng)過點A和x軸正半軸上的點B，AO＝

4、BO＝2，∠AOB＝120°．（1）求這條拋物線的表達式；（2）連結(jié)OM，求∠AOM的大小；（3）如果點C在x軸上，且△ABC與△AOM相似，求點C的坐標(biāo)．圖1思路點撥1．第（2）題把求∠AOM的大小，轉(zhuǎn)化為求∠BOM的大?。?．因為∠BOM＝∠ABO＝30°，因此點C在點B的右側(cè)時，恰好有∠ABC＝∠AOM．3．根據(jù)夾角相等對應(yīng)邊成比例，分兩種情況討論△ABC與△AOM相似．滿分解答（1）如圖2，過點A作AH⊥y軸，垂足為H．在Rt△AOH中，AO＝2，∠AOH＝30°，所以AH＝1，OH＝．所以A．因為拋物線與x軸交于O、B(2,0)兩點，設(shè)y＝ax(x

5、－2)，代入點A，可得．圖2所以拋物線的表達式為．（2）由，4得拋物線的頂點M的坐標(biāo)為．所以．所以∠BOM＝30°．所以∠AOM＝150°．（3）由A、B(2,0)、M，得，，．所以∠ABO＝30°，．因此當(dāng)點C在點B右側(cè)時，∠ABC＝∠AOM＝150°．△ABC與△AOM相似，存在兩種情況：①如圖3，當(dāng)時，．此時C(4,0)．②如圖4，當(dāng)時，．此時C(8,0)．圖3圖4圖5考點伸展在本題情境下，如果△ABC與△BOM相似，求點C的坐標(biāo)．如圖5，因為△BOM是30°底角的等腰三角形，∠ABO＝30°，因此△ABC也是底角為30°的等腰三角形，AB＝AC，根據(jù)

6、對稱性，點C的坐標(biāo)為(－4,0)．例3如圖1，已知拋物線（b是實數(shù)且b＞2）與x軸的正半軸分別交于點A、B（點A位于點B是左側(cè)），與y軸的正半軸交于點C．（1）點B的坐標(biāo)為______，點C的坐標(biāo)為__________（用含b的代數(shù)式表示）；（2）請你探索在第一象限內(nèi)是否存在點P，使得四邊形PCOB的面積等于2b，且△PBC是以點P為直角頂點的等腰直角三角形？如果存在，求出點P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由；（3）請你進一步探索在第一象限內(nèi)是否存在點Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意兩個三角形均相似（全等可看作相似的特殊情況）？如果存在，求出點Q的

7、坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．思路點撥1．第（2）題中，等腰直角三角形PBC暗示了點P到兩坐標(biāo)軸的距離相等．2．聯(lián)結(jié)OP，把四邊形PCOB重新分割為兩個等高的三角形，底邊可以用含b的式子表示．3．第（3）題要探究三個三角形兩兩相似，第一直覺這三個圖1三角形是直角三角形，點Q最大的可能在經(jīng)過點A與x軸垂直的直線上．滿分解答（1）B的坐標(biāo)為(b,0)，點C的坐標(biāo)為(0,)．（2）如圖2，過點P作PD⊥x軸，PE⊥y軸，垂足分別為D、E，那么△PDB≌△PEC．因此PD＝PE．設(shè)點P的坐標(biāo)為(x,x)．如圖3，聯(lián)結(jié)OP．所以S四邊形PCOB＝S△PCO＋S△PBO

8、＝＝2b．解得．所以點P的坐標(biāo)為()．圖2圖3圖4圖