因動點產(chǎn)生的相似三角形問題)

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1、101.2因動點產(chǎn)生的等腰三角形問題例12011年湖州市中考第24題如圖1，已知正方形OABC的邊長為2，頂點A、C分別在x、y軸的正半軸上，M是BC的中點．P(0,m)是線段OC上一動點（C點除外），直線PM交AB的延長線于點D．（1）求點D的坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）；（2）當(dāng)△APD是等腰三角形時，求m的值；（3）設(shè)過P、M、B三點的拋物線與x軸正半軸交于點E，過點O作直線ME的垂線，垂足為H（如圖2）．當(dāng)點P從O向C運動時，點H也隨之運動．請直接寫出點H所經(jīng)過的路長（不必寫解答過程）．圖1圖2思路點撥1．用含m的代數(shù)式表

2、示表示△APD的三邊長，為解等腰三角形做好準(zhǔn)備．2．探求△APD是等腰三角形，分三種情況列方程求解．3．猜想點H的運動軌跡是一個難題．不變的是直角，會不會找到不變的線段長呢？Rt△OHM的斜邊長OM是定值，以O(shè)M為直徑的圓過點H、C．滿分解答（1）因為PC//DB，所以．因此PM＝DM，CP＝BD＝2－m．所以AD＝4－m．于是得到點D的坐標(biāo)為(2，4－m)．（2）在△APD中，，，．①當(dāng)AP＝AD時，．解得（如圖3）．②當(dāng)PA＝PD時，．解得（如圖4）或（不合題意，舍去）．③當(dāng)DA＝DP時，．解得（如圖5）或（不合題意，舍去）

3、．綜上所述，當(dāng)△APD為等腰三角形時，m的值為，或．1010圖3圖4圖5（3）點H所經(jīng)過的路徑長為．考點伸展第（2）題解等腰三角形的問題，其中①、②用幾何說理的方法，計算更簡單：①如圖3，當(dāng)AP＝AD時，AM垂直平分PD，那么△PCM∽△MBA．所以．因此，．②如圖4，當(dāng)PA＝PD時，P在AD的垂直平分線上．所以DA＝2PO．因此．解得．第（2）題的思路是這樣的：如圖6，在Rt△OHM中，斜邊OM為定值，因此以O(shè)M為直徑的⊙G經(jīng)過點H，也就是說點H在圓弧上運動．運動過的圓心角怎么確定呢？如圖7，P與O重合時，是點H運動的起點，∠

4、COH＝45°，∠CGH＝90°．圖6圖7例22011年鹽城市中考第28題1010如圖1，已知一次函數(shù)y＝－x＋7與正比例函數(shù)的圖象交于點A，且與x軸交于點B．（1）求點A和點B的坐標(biāo)；（2）過點A作AC⊥y軸于點C，過點B作直線l//y軸．動點P從點O出發(fā)，以每秒1個單位長的速度，沿O—C—A的路線向點A運動；同時直線l從點B出發(fā)，以相同速度向左平移，在平移過程中，直線l交x軸于點R，交線段BA或線段AO于點Q．當(dāng)點P到達點A時，點P和直線l都停止運動．在運動過程中，設(shè)動點P運動的時間為t秒．①當(dāng)t為何值時，以A、P、R為頂點

5、的三角形的面積為8？②是否存在以A、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，請說明理由．圖1思路點撥1．把圖1復(fù)制若干個，在每一個圖形中解決一個問題．2．求△APR的面積等于8，按照點P的位置分兩種情況討論．事實上，P在CA上運動時，高是定值4，最大面積為6，因此不存在面積為8的可能．3．討論等腰三角形APQ，按照點P的位置分兩種情況討論，點P的每一種位置又要討論三種情況．滿分解答（1）解方程組得所以點A的坐標(biāo)是(3，4)．令，得．所以點B的坐標(biāo)是(7，0)．（2）①如圖2，當(dāng)P在OC上運動時，0≤t＜4．

6、由，得．整理，得．解得t＝2或t＝6（舍去）．如圖3，當(dāng)P在CA上運動時，△APR的最大面積為6．因此，當(dāng)t＝2時，以A、P、R為頂點的三角形的面積為8．1010圖2圖3圖4②我們先討論P在OC上運動時的情形，0≤t＜4．如圖1，在△AOB中，∠B＝45°，∠AOB＞45°，OB＝7，，所以O(shè)B＞AB．因此∠OAB＞∠AOB＞∠B．如圖4，點P由O向C運動的過程中，OP＝BR＝RQ，所以PQ//x軸．因此∠AQP＝45°保持不變，∠PAQ越來越大，所以只存在∠APQ＝∠AQP的情況．此時點A在PQ的垂直平分線上，OR＝2CA＝6

7、．所以BR＝1，t＝1．我們再來討論P在CA上運動時的情形，4≤t＜7．在△APQ中，為定值，，．如圖5，當(dāng)AP＝AQ時，解方程，得．如圖6，當(dāng)QP＝QA時，點Q在PA的垂直平分線上，AP＝2(OR－OP)．解方程，得．如7，當(dāng)PA＝PQ時，那么．因此．解方程，得．綜上所述，t＝1或或5或時，△APQ是等腰三角形．圖5圖6圖7考點伸展當(dāng)P在CA上，QP＝QA時，也可以用來求解．例32010年南通市中考第27題1010如圖1，在矩形ABCD中，AB＝m（m是大于0的常數(shù)），BC＝8，E為線段BC上的動點（不與B、C重合）．連結(jié)DE

8、，作EF⊥DE，EF與射線BA交于點F，設(shè)CE＝x，BF＝y(tǒng)．（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）若m＝8，求x為何值時，y的值最大，最大值是多少？（3）若，要使△DEF為等腰三角形，m的值應(yīng)為多少？圖1思路點撥1．證明△DCE∽△EBF，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊