1.1因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問題

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1、1.1因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問題例12012年蘇州市中考第29題如圖1，已知拋物線（b是實(shí)數(shù)且b＞2）與x軸的正半軸分別交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A位于點(diǎn)B是左側(cè)），與y軸的正半軸交于點(diǎn)C．（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為______，點(diǎn)C的坐標(biāo)為__________（用含b的代數(shù)式表示）；（2）請你探索在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)P，使得四邊形PCOB的面積等于2b，且△PBC是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由；（3）請你進(jìn)一步探索在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意兩個(gè)三角形均相似（全等可看作相似的

2、特殊情況）？如果存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．圖1思路點(diǎn)撥1．第（2）題中，等腰直角三角形PBC暗示了點(diǎn)P到兩坐標(biāo)軸的距離相等．2．聯(lián)結(jié)OP，把四邊形PCOB重新分割為兩個(gè)等高的三角形，底邊可以用含b的式子表示．3．第（3）題要探究三個(gè)三角形兩兩相似，第一直覺這三個(gè)三角形是直角三角形，點(diǎn)Q最大的可能在經(jīng)過點(diǎn)A與x軸垂直的直線上．滿分解答（1）B的坐標(biāo)為(b,0)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,)．（2）如圖2，過點(diǎn)P作PD⊥x軸，PE⊥y軸，垂足分別為D、E，那么△PDB≌△PEC．因此PD＝PE．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,x)．如圖3，聯(lián)結(jié)OP．所以S

3、四邊形PCOB＝S△PCO＋S△PBO＝＝2b．解得．所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為()．圖2圖3（3）由，得A(1,0)，OA＝1．①如圖4，以O(shè)A、OC為鄰邊構(gòu)造矩形OAQC，那么△OQC≌△QOA．當(dāng)，即時(shí)，△BQA∽△QOA．所以．解得．所以符合題意的點(diǎn)Q為()．②如圖5，以O(shè)C為直徑的圓與直線x＝1交于點(diǎn)Q，那么∠OQC＝90°。因此△OCQ∽△QOA．當(dāng)時(shí)，△BQA∽△QOA．此時(shí)∠OQB＝90°．所以C、Q、B三點(diǎn)共線．因此，即．解得．此時(shí)Q(1,4)．圖4圖5考點(diǎn)伸展第（3）題的思路是，A、C、O三點(diǎn)是確定的，B是x軸正半軸上待定的點(diǎn)，而∠QOA與∠

4、QOC是互余的，那么我們自然想到三個(gè)三角形都是直角三角形的情況．這樣，先根據(jù)△QOA與△QOC相似把點(diǎn)Q的位置確定下來，再根據(jù)兩直角邊對應(yīng)成比例確定點(diǎn)B的位置．如圖中，圓與直線x＝1的另一個(gè)交點(diǎn)會不會是符合題意的點(diǎn)Q呢？如果符合題意的話，那么點(diǎn)B的位置距離點(diǎn)A很近，這與OB＝4OC矛盾．例22012年黃岡市中考模擬第25題如圖1，已知拋物線的方程C1：(m＞0)與x軸交于點(diǎn)B、C，與y軸交于點(diǎn)E，且點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)．（1）若拋物線C1過點(diǎn)M(2,2)，求實(shí)數(shù)m的值；（2）在（1）的條件下，求△BCE的面積；（3）在（1）的條件下，在拋物線的對稱軸上找一

5、點(diǎn)H，使得BH＋EH最小，求出點(diǎn)H的坐標(biāo)；（4）在第四象限內(nèi)，拋物線C1上是否存在點(diǎn)F，使得以點(diǎn)B、C、F為頂點(diǎn)的三角形與△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，請說明理由．圖1思路點(diǎn)撥1．第（3）題是典型的“牛喝水”問題，當(dāng)H落在線段EC上時(shí)，BH＋EH最?。?．第（4）題的解題策略是：先分兩種情況畫直線BF，作∠CBF＝∠EBC＝45°，或者作BF//EC．再用含m的式子表示點(diǎn)F的坐標(biāo)．然后根據(jù)夾角相等，兩邊對應(yīng)成比例列關(guān)于m的方程．滿分解答（1）將M(2,2)代入，得．解得m＝4．（2）當(dāng)m＝4時(shí)，．所以C(4,0)，E(0,2)．所以S△BC

6、E＝．（3）如圖2，拋物線的對稱軸是直線x＝1，當(dāng)H落在線段EC上時(shí)，BH＋EH最小．設(shè)對稱軸與x軸的交點(diǎn)為P，那么．因此．解得．所以點(diǎn)H的坐標(biāo)為．（4）①如圖3，過點(diǎn)B作EC的平行線交拋物線于F，過點(diǎn)F作FF′⊥x軸于F′．由于∠BCE＝∠FBC，所以當(dāng)，即時(shí)，△BCE∽△FBC．設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為，由，得．解得x＝m＋2．所以F′(m＋2,0)．由，得．所以．由，得．整理，得0＝16．此方程無解．圖2圖3圖4②如圖4，作∠CBF＝45°交拋物線于F，過點(diǎn)F作FF′⊥x軸于F′，由于∠EBC＝∠CBF，所以，即時(shí)，△BCE∽△BFC．在Rt△BFF′中，

7、由FF′＝BF′，得．解得x＝2m．所以F′．所以BF′＝2m＋2，．由，得．解得．綜合①、②，符合題意的m為．考點(diǎn)伸展第（4）題也可以這樣求BF的長：在求得點(diǎn)F′、F的坐標(biāo)后，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求BF的長．例32011年上海市閘北區(qū)中考模擬第25題直線分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，△AOB繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到△COD，拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過A、C、D三點(diǎn)．(1)寫出點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)；(2)求經(jīng)過A、C、D三點(diǎn)的拋物線表達(dá)式，并求拋物線頂點(diǎn)G的坐標(biāo)；(3)在直線BG上是否存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)A、B、Q為頂點(diǎn)的三角形與△COD

8、相似？若存在，請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．圖1思路點(diǎn)撥1．圖形在旋轉(zhuǎn)過程中，對應(yīng)線