資源描述：
《因動點產生的相似三角形問題》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、中華考試網（www.examw.com）因動點產生的相似三角形問題例12013年上海市中考第24題如圖1，在平面直角坐標系xOy中，頂點為M的拋物線y＝ax2＋bx（a＞0）經過點A和x軸正半軸上的點B，AO＝BO＝2，∠AOB＝120°．（1）求這條拋物線的表達式；（2）連結OM，求∠AOM的大?。唬?）如果點C在x軸上，且△ABC與△AOM相似，求點C的坐標．圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“13上海24”，拖動點C在x軸上運動，可以體驗到，點C在點B的右側，有兩種情況，△ABC與△AOM相似．請打開超級畫板文件名“
2、13上海24”，拖動點C在x軸上運動，可以體驗到，點C在點B的右側，有兩種情況，△ABC與△AOM相似．點擊按鈕的左部和中部，可到達相似的準確位置。思路點撥1．第（2）題把求∠AOM的大小，轉化為求∠BOM的大小．2．因為∠BOM＝∠ABO＝30°，因此點C在點B的右側時，恰好有∠ABC＝∠AOM．3．根據夾角相等對應邊成比例，分兩種情況討論△ABC與△AOM相似．滿分解答（1）如圖2，過點A作AH⊥y軸，垂足為H．在Rt△AOH中，AO＝2，∠AOH＝30°，所以AH＝1，OH＝．所以A．因為拋物線與x軸交于O、B(2
3、,0)兩點，設y＝ax(x－2)，代入點A，可得．圖2中華考試網（www.examw.com）所以拋物線的表達式為．（2）由，得拋物線的頂點M的坐標為．所以．所以∠BOM＝30°．所以∠AOM＝150°．（3）由A、B(2,0)、M，得，，．所以∠ABO＝30°，．因此當點C在點B右側時，∠ABC＝∠AOM＝150°．△ABC與△AOM相似，存在兩種情況：①如圖3，當時，．此時C(4,0)．②如圖4，當時，．此時C(8,0)．圖3圖4考點伸展在本題情境下，如果△ABC與△BOM相似，求點C的坐標．如圖5，因為△BOM是3
4、0°底角的等腰三角形，∠ABO＝30°，因此△ABC也是底角為30°的等腰三角形，AB＝AC，根據對稱性，點C的坐標為(－4,0)．中華考試網（www.examw.com）圖5例22012年蘇州市中考第29題如圖1，已知拋物線（b是實數且b＞2）與x軸的正半軸分別交于點A、B（點A位于點B是左側），與y軸的正半軸交于點C．（1）點B的坐標為______，點C的坐標為__________（用含b的代數式表示）；（2）請你探索在第一象限內是否存在點P，使得四邊形PCOB的面積等于2b，且△PBC是以點P為直角頂點的等腰直角三
5、角形？如果存在，求出點P中華考試網（www.examw.com）的坐標；如果不存在，請說明理由；（3）請你進一步探索在第一象限內是否存在點Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意兩個三角形均相似（全等可看作相似的特殊情況）？如果存在，求出點Q的坐標；如果不存在，請說明理由．圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“12蘇州29”，拖動點B在x軸的正半軸上運動，可以體驗到，點P到兩坐標軸的距離相等，存在四邊形PCOB的面積等于2b的時刻．雙擊按鈕“第（3）題”，拖動點B，可以體驗到，存在∠OQA＝∠B的時刻，也存在∠OQ′A＝
6、∠B的時刻．思路點撥1．第（2）題中，等腰直角三角形PBC暗示了點P到兩坐標軸的距離相等．2．聯結OP，把四邊形PCOB重新分割為兩個等高的三角形，底邊可以用含b的式子表示．3．第（3）題要探究三個三角形兩兩相似，第一直覺這三個三角形是直角三角形，點Q最大的可能在經過點A與x軸垂直的直線上．滿分解答（1）B的坐標為(b,0)，點C的坐標為(0,)．（2）如圖2，過點P作PD⊥x軸，PE⊥y軸，垂足分別為D、E，那么△PDB≌△PEC．因此PD＝PE．設點P的坐標為(x,x)．如圖3，聯結OP．所以S四邊形PCOB＝S△P
7、CO＋S△PBO＝＝2b．解得．所以點P的坐標為()．中華考試網（www.examw.com）圖2圖3（3）由，得A(1,0)，OA＝1．①如圖4，以OA、OC為鄰邊構造矩形OAQC，那么△OQC≌△QOA．當，即時，△BQA∽△QOA．所以．解得．所以符合題意的點Q為()．②如圖5，以OC為直徑的圓與直線x＝1交于點Q，那么∠OQC＝90°。因此△OCQ∽△QOA．當時，△BQA∽△QOA．此時∠OQB＝90°．所以C、Q、B三點共線．因此，即．解得．此時Q(1,4)．圖4圖5考點伸展第（3）題的思路是，A、C、O三點
8、是確定的，B是x軸正半軸上待定的點，而∠QOA與∠QOC是互余的，那么我們自然想到三個三角形都是直角三角形的情況．這樣，先根據△QOA與△QOC相似把點Q的位置確定下來，再根據兩直角邊對應成比例確定點B的位置．如圖中，圓與直線x＝1的另一個交點會不會是符合題意的點Q呢？如果符合題意的話，那么點B的位置距離點A很近，這
