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《費(fèi)爾馬光行最速原理》由會員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在應(yīng)用文檔-天天文庫。
1、費(fèi)爾馬光行最速原理 費(fèi)爾馬不僅是位數(shù)學(xué)家，他在物理學(xué)中也有所建樹，“光行最速原理”就是由他發(fā)現(xiàn)的。由此我們可以解下列問題：由光源A射出的光線，經(jīng)平面鏡MN反射后照到點(diǎn)B，求光走過的路線。 解：作A關(guān)于MN的對稱點(diǎn)A′，連A′B交MN于點(diǎn)P，則光線將由A射到P，經(jīng)反射后到B，這條路線是“最短路線”。實(shí)際上，對MN上任一非P的點(diǎn)P，都有AP′+P′B=AP′+P′B＞A′B=AP+PB.即這條路線最短?！ ∮纱丝傻玫轿锢韺W(xué)中的反射定律：光經(jīng)平面鏡反射時，入射角等于反射角，在圖1中，取P點(diǎn)處法線PQ，則有∠1=∠2?！ ≡凇鰽BC中，AD、BE、CF分別為三邊上的高，△DE
2、F稱為△ABC的垂足三角形，可以證明△ABC的重心H是△DEF的內(nèi)心?！ ?shí)際上，由∠BEA=∠BDA=90°，知B、D、E、A共圓，于是∠CDE=∠BAC.同樣，由A、F、D、C共圓，可知∠BDF=∠BAC，于是∠CDE=∠BDF.從而可知DA平分∠EDF。 同理FC平分∠DFE，EB平分∠DEF.故H是△DEF的內(nèi)心。 如作D關(guān)于AB的對稱點(diǎn)D1，可知∠DFB=∠D1FB＝∠AFE，于是，D1、F、E在一直線上。同樣可知，D關(guān)于AC的對稱點(diǎn)D2也在直線EF上，即D1、F、E、D2四點(diǎn)在一條直線上。 現(xiàn)在，我們來看由法格拉洛提出的一個問題：在△ABC的每條邊上各取
3、一點(diǎn)D、E、F，△DEF稱為△ABC的內(nèi)接三角形。試在銳角三角形ABC的所有內(nèi)接三角形中，求周長最短的三角形?！ ≠M(fèi)爾馬提出了一種解法，這個解法分成三步來解： 設(shè)D是BC上固定點(diǎn)，求此時的周長最短的內(nèi)接三角形?！ ∽鱀關(guān)于AB、AC的對稱點(diǎn)D1、D2，連D1D2交AB、AC于E、F，則△DEF為所求。實(shí)際上，對于△ABC的任一內(nèi)接△DE′F′，有 DE′+E′F′+F′D=D1E′+E′F′+F′D2 ≥D1D2=D1E+EF+FD2 =DE＋EF＋FD. 就是△DEF的周長≤△DEF的周長?！ ∫虼?，我們只要對于每一個BC上的點(diǎn)D，都找出相應(yīng)于該點(diǎn)的周長最短的
4、內(nèi)接三角形DEF，在這些三角形中找出周長最短的一個就行?！ ∮捎贏D1=AD，AD2=AD，故△AD1D2是等腰三角形。又由于∠1=∠2，∠3=∠4，故△AD1D2的頂角∠D1AD2=2∠BAC為定值，因此，只有當(dāng)其腰AD1最短時，D1D2最短。此時必有AD最短。從而當(dāng)AD為△ABC的高時，內(nèi)接三角形DEF的周長最短?！ ‘?dāng)AD為△ABC的高時，由前面三角形垂足三角形性質(zhì)，可證△ABC的內(nèi)接三角形中，以其垂足三角形DEF的周長最短。 在平面幾何中，還有一個以費(fèi)爾馬為名的“費(fèi)爾馬點(diǎn)”。即：在△ABC所在平面上找一點(diǎn)，它到三個頂點(diǎn)的距離之和相等。 只考慮△ABC的三個內(nèi)角
5、都小于120°的情況?！ ∫訟B、BC、CA為邊向形外作正三角形BCD、ACE、ABK，作此三個三角形的外接圓。設(shè)⊙ABK、⊙ACE除A外的交點(diǎn)為F，由A、K、B、F四點(diǎn)共圓知∠AFB＝120°。同理∠AFC＝120°于是∠BFC=120°。故⊙BCD邊過點(diǎn)F，即⊙ABK，⊙BCD，⊙CAE共點(diǎn)F。 由∠AFB=120°，∠BFD=60°，知A、F、D在一條直線上?！ ≡贔D上取點(diǎn)G，使FG=FB，則△FBG為正三角形。由BG＝BF，BD＝BC，∠DBG＝∠CBF＝60°-∠GBC，故△DBG≌△CBF。于是GD＝FC，即AD=FA+FB+FC。 對于平面上任一點(diǎn)P，
6、以BP為一邊作等邊△PBH，連HD，同樣可證△BHD≌△BPC。于是AP+PH+HD=PA+PB+PC。但PA+PH+HD≥AD=FA+FB+FC.這就是說，點(diǎn)F為所求點(diǎn)。這點(diǎn)稱為△ABC的費(fèi)爾馬點(diǎn)?！ ∪绻鰽BC有某一內(nèi)角≥120°，例如∠A≥120°，則點(diǎn)A即為所求點(diǎn)。
