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《第六講-時間序列的平穩(wěn)性及其檢驗》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內容在教育資源-天天文庫。
1、時間序列的平穩(wěn)性及其檢驗一、問題的引出：非平穩(wěn)變量與經典回歸模型時間序列數(shù)據(jù)是最常見，也是最常用到的數(shù)據(jù)經典回歸分析暗含著一個重要假設：數(shù)據(jù)是平穩(wěn)的數(shù)據(jù)非平穩(wěn)，大樣本下的統(tǒng)計推斷基礎——“一致性”要求——被破懷。經典回歸分析的假設之一：解釋變量X是非隨機變量放寬該假設：X是隨機變量，則需進一步要求：(1)X與隨機擾動項?不相關∶Cov(X,?)=0(2)依概率收斂：如果X是非平穩(wěn)數(shù)據(jù)（如表現(xiàn)出向上的趨勢），則（2）不成立，回歸估計量不滿足“一致性”，基于大樣本的統(tǒng)計推斷也就遇到麻煩。表現(xiàn)在:兩個本來沒有任何因果關系的變量，卻有很高的相關性（有較高的R2)。例如
2、：如果有兩列時間序列數(shù)據(jù)表現(xiàn)出一致的變化趨勢（非平穩(wěn)的），即使它們沒有任何有意義的關系，但進行回歸也可表現(xiàn)出較高的可決系數(shù)。在現(xiàn)實經濟生活中，實際的時間序列數(shù)據(jù)往往是非平穩(wěn)的，而且主要的經濟變量如消費、收入、價格往往表現(xiàn)為一致的上升或下降。這樣，仍然通過經典的因果關系模型進行分析，一般不會得到有意義的結果。數(shù)據(jù)非平穩(wěn)的后果——導致出現(xiàn)“虛假回歸”問題二、時間序列數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性定義：假定某個時間序列是由某一隨機過程（stochasticprocess）生成的，如果滿足下列條件：1）均值E(Xt)=?是與時間t無關的常數(shù)；2）方差Var(Xt)=?2是與時間t無關的
3、常數(shù)；3）協(xié)方差Cov(Xt,Xt+k)=?k是只與時期間隔k有關，與時間t無關的常數(shù)；則稱該隨機時間序列是平穩(wěn)的（stationary)，而該隨機過程是一平穩(wěn)隨機過程（stationarystochasticprocess）。例1．一個最簡單的隨機時間序列是一具有零均值同方差的獨立分布序列：Xt=?t，?t~N(0,?2)該序列常被稱為是一個白噪聲（whitenoise）。由于Xt具有相同的均值與方差，且協(xié)方差為零,由定義,一個白噪聲序列是平穩(wěn)的。例2．另一個簡單的隨機時間列序被稱為隨機游走（randomwalk），該序列由如下隨機過程生成：Xt=Xt-1+
4、?t這里，?t是一個白噪聲。容易知道該序列有相同的均值：E(Xt)=E(Xt-1)為了檢驗該序列是否具有相同的方差，可假設Xt的初值為X0，則易知:X1=X0+?1X2=X1+?2=X0+?1+?2……Xt=X0+?1+?2+…+?t由于X0為常數(shù)，?t是一個白噪聲，因此:Var(Xt)=t?2即Xt的方差與時間t有關而非常數(shù)，它是一非平穩(wěn)序列。然而，對X取一階差分（firstdifference）:?Xt=Xt-Xt-1=?t由于?t是一個白噪聲，則序列{?Xt}是平穩(wěn)的。后面將會看到:如果一個時間序列是非平穩(wěn)的，它常?？赏ㄟ^取差分的方法而形成平穩(wěn)序列。事實
5、上，隨機游走過程是下面我們稱之為1階自回歸AR(1)過程的特例:Xt=?Xt-1+?t不難驗證:1)
6、?
7、>1時，該隨機過程生成的時間序列是發(fā)散的，表現(xiàn)為持續(xù)上升(?>1)或持續(xù)下降(?<-1)，因此是非平穩(wěn)的；2)?=1時，是一個隨機游走過程，也是非平穩(wěn)的。事實上可以證明:只有當-1
8、一步的判斷:檢驗樣本自相關函數(shù)及其圖形定義隨機時間序列的自相關函數(shù)（autocorrelationfunction,ACF）如下：?k=?k/?0自相關函數(shù)是關于滯后期k的遞減函數(shù)。實際上,對一個隨機過程只有一個實現(xiàn)（樣本），因此，只能計算樣本自相關函數(shù)（Sampleautocorrelationfunction）。一個時間序列的樣本自相關函數(shù)定義為：隨著k的增加，樣本自相關函數(shù)下降且趨于零。但從下降速度來看，平穩(wěn)序列要比非平穩(wěn)序列快得多。可檢驗對所有k>0，自相關系數(shù)都為0的聯(lián)合假設，這可通過如下QLB統(tǒng)計量進行：該統(tǒng)計量近似地服從自由度為m的?2分布（m為
9、滯后長度）。因此:如果計算的Q值大于顯著性水平為?的臨界值，則有1-?的把握拒絕所有?k(k>0)同時為0的假設。例3:下表序列Random1是通過一隨機過程（隨機函數(shù)）生成的有19個樣本的隨機時間序列。容易驗證：該樣本序列的均值為0，方差為0.0789。從圖形看：它在其樣本均值0附近上下波動，且樣本自相關系數(shù)迅速下降到0，隨后在0附近波動且逐漸收斂于0。從QLB統(tǒng)計量的計算值看，滯后17期的計算值為26.38，未超過5%顯著性水平的臨界值27.58，因此,可以接受所有的自相關系數(shù)?k(k>0)都為0的假設。因此，該隨機過程是一個平穩(wěn)過程。序列Random2是
10、由一隨機游走過程Xt=Xt-1+?t生
