史上最全的數(shù)列通項公式的求法15種

《史上最全的數(shù)列通項公式的求法15種》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內(nèi)容在教育資源-天天文庫。

1、最全的數(shù)列通項公式的求法數(shù)列是高考中的重點內(nèi)容之一，每年的高考題都會考察到，小題一般較易，大題一般較難。而作為給出數(shù)列的一種形式——通項公式，在求數(shù)列問題中尤其重要。本文給出了求數(shù)列通項公式的常用方法?！粢?、直接法根據(jù)數(shù)列的特征，使用作差法等直接寫出通項公式。例1.根據(jù)下列數(shù)列的前幾項，說出數(shù)列的通項公式：1、1.3.7.15.31………2、1,2,5,8,12………3、………4、1,-1,1,-1………5、1、0、1、0………◆二、公式法①利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項②若已知數(shù)列的前項和與的關系，求數(shù)列的通項可用

2、公式求解.(注意：求完后一定要考慮合并通項)例2．①已知數(shù)列的前項和滿足．求數(shù)列的通項公式.②已知數(shù)列的前項和滿足，求數(shù)列的通項公式.③已知等比數(shù)列的首項，公比，設數(shù)列的通項為，求數(shù)列的通項公式。③解析：由題意，，又是等比數(shù)列，公比為∴，故數(shù)列是等比數(shù)列，，∴◆三、歸納猜想法如果給出了數(shù)列的前幾項或能求出數(shù)列的前幾項，我們可以根據(jù)前幾項的規(guī)律，歸納猜想出數(shù)列的通項公式，然后再用數(shù)學歸納法證明之。也可以猜想出規(guī)律，然后正面證明。例3.（2002年北京春季高考）已知點的序列，其中，，是線段的中點，是線段的中點，…，是線段的中

3、點，…（1）寫出與之間的關系式（）。最全的數(shù)列通項公式的求法-12-（1）設，計算，由此推測的通項公式，并加以證明。（2）略解析：（1）∵是線段的中點，∴（2），=，=，猜想，下面用數(shù)學歸納法證明當n=1時，顯然成立；假設n=k時命題成立，即則n=k+1時，==∴當n=k+1時命題也成立，∴命題對任意都成立。變式:（2006，全國II,理,22,本小題滿分12分）設數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根為Sn－1，n＝1，2，3，…（Ⅰ）求a1，a2；（Ⅱ）｛an｝的通項公式◆四、累加（乘）法對

4、于形如型或形如型的數(shù)列，我們可以根據(jù)遞推公式，寫出n取1到n時的所有的遞推關系式，然后將它們分別相加（或相乘）即可得到通項公式。例4.若在數(shù)列中，，，求通項。解析：由得，所以，，…，，將以上各式相加得：，又最全的數(shù)列通項公式的求法-12-所以=例5.在數(shù)列中，，（），求通項。解析：由已知，，，…，，又，所以=…=…=◆五、取倒（對）數(shù)法a、這種類型一般是等式兩邊取對數(shù)后轉(zhuǎn)化為，再利用待定系數(shù)法求解b、數(shù)列有形如的關系，可在等式兩邊同乘以先求出c、解法：這種類型一般是等式兩邊取倒數(shù)后換元轉(zhuǎn)化為。例6.．設數(shù)列滿足求解：原條

5、件變形為兩邊同乘以得.∵∴例7、設正項數(shù)列滿足，（n≥2）.求數(shù)列的通項公式.解：兩邊取對數(shù)得：，，設，則是以2為公比的等比數(shù)列，.，，，∴變式:1.已知數(shù)列｛an｝滿足：a1＝，且an＝（1）求數(shù)列｛an｝的通項公式；（2）證明：對于一切正整數(shù)n，不等式a1·a2·……an<2·n！2、若數(shù)列的遞推公式為，則求這個數(shù)列的通項公式。最全的數(shù)列通項公式的求法-12-3、已知數(shù)列{}滿足時，，求通項公式。4、已知數(shù)列｛an｝滿足：，求數(shù)列｛an｝的通項公式。5、若數(shù)列｛a｝中，a=1，a=n∈N，求通項a．◆六、迭代法迭代法

6、就是根據(jù)遞推式，采用循環(huán)代入計算.例8、（2003·高考·廣東）設a0為常數(shù)，且an＝3n-1－2an-1（n為正整數(shù)）證明對任意n≥1，?????an＝[3n＋（－1）n-1·?2n]＋（－1）n·2na0?證明：???????an＝3n-1－2an-1＝3n-1－2（3n-2－2an-2）?????????＝3n-1－2·?3n-2＋22（3n-3－2an-3）?????????＝3n-1－2?·3n-2＋22·3n-3－23（3n-4－2an-4）??????????????………??????………????????

7、?＝3n-1－2·3n-2＋22·3n–3－…＋（－1）n-1·2n-1＋（－1）n·2na0（－1）n·2na0前面的n項組成首項為3n-1，公比為－的等比數(shù)列，這n項的和為：＝[3n＋（－1）n-1·2n]?∴an＝[3n＋（－1）n-1·?2n]＋（－1）n·2na0◆七、待定系數(shù)法：求數(shù)列通項公式方法靈活多樣，特別是對于給定的遞推關系求通項公式，觀察、分析、推理能力要求較高。通?？蓪f推式變換，轉(zhuǎn)化成特殊數(shù)列（等差或等比數(shù)列）來求解，該方法體現(xiàn)了數(shù)學中化未知為已知的化歸思想，運用待定系數(shù)法變換遞推式中的常數(shù)就是一

8、種重要的轉(zhuǎn)化方法。1、通過分解常數(shù)，可轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列{a+k}的形式求解。一般地，形如a=pa+q（p≠1，pq≠0）型的遞推式均可通過待定系數(shù)法對常數(shù)q分解法：設a+k=p（a+k）與原式比較系數(shù)可得pk－k=q，即k=，從而得等比數(shù)列{a+k}。例9、數(shù)列{a}滿足a=1，a=a+1（n≥2），求數(shù)列{a}的通項