定積分的幾何應(yīng)用(面積和弧長)

《定積分的幾何應(yīng)用(面積和弧長)》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。

1、利用元素法解決:定積分在幾何上的應(yīng)用定積分在物理上的應(yīng)用定積分的應(yīng)用定積分的元素法一、什么問題可以用定積分解決?二、如何應(yīng)用定積分解決問題?表示為一、什么問題可以用定積分解決?1)所求量U是與區(qū)間[a,b]上的某分布f(x)有關(guān)的2)U對區(qū)間[a,b]具有可加性,即可通過“分割,近似代替,求和,取極限”定積分定義一個整體量;二、如何應(yīng)用定積分解決問題?第一步利用“分割,近似代替”求出局部量的微分表達式第二步利用“求和,取極限”求出整體量的積分表達式這種分析方法稱為元素法(或微元分析法)元素的幾何形狀常取為:條,帶,段,環(huán),扇,片,殼等近似值精確值第二節(jié)一、平面圖

2、形的面積二、平面曲線的弧長定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用一、平面圖形的面積1.直角坐標(biāo)情形設(shè)曲線與直線及x軸所圍曲則邊梯形面積為A,右下圖所示圖形面積為OO例1.計算兩條拋物線在第一象限所圍圖形的面積.解:由得交點O例2.計算拋物線與直線的面積.解:由得交點所圍圖形為簡便計算,選取y作積分變量,則有O例3.求橢圓解:利用對稱性,所圍圖形的面積.有利用橢圓的參數(shù)方程應(yīng)用定積分換元法得當(dāng)a=b時得圓面積公式一般地,當(dāng)曲邊梯形的曲邊由參數(shù)方程給出時,按順時針方向規(guī)定起點和終點的參數(shù)值則曲邊梯形面積O例4.求由擺線的一拱與x軸所圍平面圖形的面積.解:O2.極坐標(biāo)情形求由曲線及圍

3、成的曲邊扇形的面積.在區(qū)間上任取小區(qū)間則對應(yīng)該小區(qū)間上曲邊扇形面積的近似值為所求曲邊扇形的面積為O對應(yīng)?從0變例5.計算阿基米德螺線解:到2?所圍圖形面積.O心形線例6.計算心形線所圍圖形的面積.解:(利用對稱性)心形線O心形線(外擺線的一種)即點擊圖中任意點動畫開始或暫停尖點:面積:弧長:參數(shù)的幾何意義例7.計算心形線與圓所圍圖形的面積.解:利用對稱性,所求面積例8.求雙紐線所圍圖形面積.解:利用對稱性,則所求面積為思考:用定積分表示該雙紐線與圓所圍公共部分的面積.答案:O二、平面曲線的弧長定義:若在弧AB上任意作內(nèi)接折線,當(dāng)折線段的最大邊長?→0時,折線的長

4、度之和趨向于一個確定的極限,則稱此極限為曲線弧AB的弧長,即并稱此曲線弧為可求長的.定理:任意光滑曲線弧都是可求長的.(證明略)(1)曲線弧由直角坐標(biāo)方程給出:弧長元素(弧微分):因此所求弧長(2)曲線弧由參數(shù)方程給出:弧長元素(弧微分):因此所求弧長(3)曲線弧由極坐標(biāo)方程給出:因此所求弧長則得弧長元素(弧微分):(自己驗證)例9.兩根電線桿之間的電線,由于其本身的重量,成懸鏈線.求這一段弧長.解:下垂懸鏈線方程為例10.計算擺線一拱的弧長.解:例11.求阿基米德螺線相應(yīng)于0≤?≤2?一段的弧長.解:內(nèi)容小結(jié)1.平面圖形的面積邊界方程參數(shù)方程極坐標(biāo)方程2.平面

5、曲線的弧長曲線方程參數(shù)方程方程極坐標(biāo)方程弧微分:直角坐標(biāo)方程上下限按順時針方向確定直角坐標(biāo)方程注意:求弧長時積分上下限必須上大下小思考與練習(xí)1.用定積分表示圖中陰影部分的面積A及邊界長s.提示:交點為弧線段部分直線段部分以x為積分變量,則要分兩段積分,故以y為積分變量.解：2.求曲線所圍圖形的面積.顯然面積為同理其他.又故在區(qū)域分析曲線特點3.解:與x軸所圍面積由圖形的對稱性,也合于所求.?為何值才能使與x軸圍成的面積等故4.求連續(xù)曲線段解:的弧長.