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1、第二節(jié)微積學基本定理一、變上限積分與對積分上限變量求導數(shù)二、微積分基本定理如果物體運動的速度函數(shù)為v=v(t),那么在時間區(qū)間[a,b]內物體的走過的路程s可以用定積分表示為另一方面,如果已知該變速直線運動的路程函數(shù)為s=s(t),則在時間區(qū)間[a,b]內物體的位移為s(b)–s(a),所以又有由于,即s(t)是v(t)的原函數(shù),這就是說,定積分等于被積函數(shù)v(t)的原函數(shù)s(t)在區(qū)間[a,b]上的增量s(b)–s(a).一、變上限積分與對積分上限變量求導數(shù)設函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),則對于任意的x(),積
2、分存在,且對于給定的x(),就有一個積分值與之對應,所以上限為變量的積分是上限x的函數(shù).注意：積分上限x與被積表達式f(x)dx中的積分變量x是兩個不同的概念,在求積時(或說積分過程中)上限x是固定不變的,而積分變量x是在下限與上限之間變化的,根據(jù)定積分與積分變量記號無關,用字母t表示積分變量,于是變上限記號為φ(x)因此常記為定理5.3如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),則變上限的積分所確定的函數(shù)在[a,b]上可導,且證明由積分中值定理有結論：變上限積分所確定的函數(shù)對積分上限x的導數(shù)等于被積函數(shù)f(t)在積分上限
3、x處的值f(x).定理5.4(原函數(shù)存在定理)原函數(shù)存在定理一方面說明連續(xù)函數(shù)必有原函數(shù),另一方面又揭示了連續(xù)函數(shù)定積分(這里是指變上限定積分)與不定積分的關系,并由此可以得到利用原函數(shù)計算定積分的公式(稱為微積分基本定理).定理5.5(微積學基本定理)設函數(shù)f(x)在區(qū)間上連續(xù),且F(x)是f(x)在[a,b]上的任一原函數(shù)二、微積分基本定理證明或記作上式稱為牛頓-萊布尼茨公式,也稱為微積分基本定理.則即有令x=b得令x=a,得牛頓－萊布尼茨公式提供了計算定積分的簡便的基本方法,即求定積分的值,只要求出被積函數(shù)f(x
4、)的一個原函數(shù)F(x),然后計算原函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的增量F(b)–F(a)即可.該公式把計算定積分歸結為求原函數(shù)的問題,揭示了定積分與不定積分之間的內在聯(lián)系.例1求解例2求解例3求解根據(jù)定理6.3有例4求解
