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1、第十一章馬氏鏈模型11.1健康與疾病11.2鋼琴銷售的存貯策略11.3基因遺傳11.4等級結構馬氏鏈模型系統(tǒng)在每個時期所處的狀態(tài)是隨機的從一時期到下時期的狀態(tài)按一定概率轉移下時期狀態(tài)只取決于本時期狀態(tài)和轉移概率已知現(xiàn)在，將來與過去無關（無后效性）描述一類重要的隨機動態(tài)系統(tǒng)（過程）的模型馬氏鏈(MarkovChain)——時間、狀態(tài)均為離散的隨機轉移過程通過有實際背景的例子介紹馬氏鏈的基本概念和性質例1.人的健康狀況分為健康和疾病兩種狀態(tài)，設對特定年齡段的人，今年健康、明年保持健康狀態(tài)的概率為0.8,而今年患病、明年轉為健康狀
2、態(tài)的概率為0.7，11.1健康與疾病人的健康狀態(tài)隨著時間的推移會隨機地發(fā)生轉變保險公司要對投保人未來的健康狀態(tài)作出估計,以制訂保險金和理賠金的數(shù)額若某人投保時健康,問10年后他仍處于健康狀態(tài)的概率Xn+1只取決于Xn和pij,與Xn-1,…無關狀態(tài)與狀態(tài)轉移狀態(tài)轉移具有無后效性120.80.20.30.7n0a2(n)0a1(n)1設投保時健康給定a(0),預測a(n),n=1,2…設投保時疾病a2(n)1a1(n)0n??時狀態(tài)概率趨于穩(wěn)定值，穩(wěn)定值與初始狀態(tài)無關3…0.778…0.222…∞7/92/90.70.770.
3、777…0.30.330.333…7/92/9狀態(tài)與狀態(tài)轉移120.80.20.30.710.80.220.780.221230.10.0210.80.250.180.65例2.健康和疾病狀態(tài)同上，Xn=1~健康,Xn=2~疾病p11=0.8,p12=0.18,p13=0.02死亡為第3種狀態(tài)，記Xn=3健康與疾病p21=0.65,p22=0.25,p23=0.1p31=0,p32=0,p33=1n0123?a2(n)00.180.1890.1835?a3(n)00.020.0540.0880?a1(n)10.80.7570
4、.7285?設投保時處于健康狀態(tài)，預測a(n),n=1,2…不論初始狀態(tài)如何，最終都要轉到狀態(tài)3；一旦a1(k)=a2(k)=0,a3(k)=1,則對于n>k,a1(n)=0，a2(n)=0,a3(n)=1,即從狀態(tài)3不會轉移到其它狀態(tài)。狀態(tài)與狀態(tài)轉移001?50?0.1293?0.0326?0.8381?馬氏鏈的基本方程基本方程馬氏鏈的兩個重要類型1.正則鏈~從任一狀態(tài)出發(fā)經有限次轉移能以正概率到達另外任一狀態(tài)（如例1）。w~穩(wěn)態(tài)概率馬氏鏈的兩個重要類型2.吸收鏈~存在吸收狀態(tài)（一旦到達就不會離開的狀態(tài)i,pii=1）,且
5、從任一非吸收狀態(tài)出發(fā)經有限次轉移能以正概率到達吸收狀態(tài)（如例2）。有r個吸收狀態(tài)的吸收鏈的轉移概率陣標準形式R有非零元素yi~從第i個非吸收狀態(tài)出發(fā)，被某個吸收狀態(tài)吸收前的平均轉移次數(shù)。11.2鋼琴銷售的存貯策略鋼琴銷售量很小，商店的庫存量不大以免積壓資金一家商店根據(jù)經驗估計，平均每周的鋼琴需求為1架存貯策略：每周末檢查庫存量，僅當庫存量為零時，才訂購3架供下周銷售；否則，不訂購。估計在這種策略下失去銷售機會的可能性有多大，以及每周的平均銷售量是多少。背景與問題問題分析顧客的到來相互獨立，需求量近似服從波松分布，其參數(shù)由需求
6、均值為每周1架確定，由此計算需求概率存貯策略是周末庫存量為零時訂購3架?周末的庫存量可能是0,1,2,3，周初的庫存量可能是1,2,3。用馬氏鏈描述不同需求導致的周初庫存狀態(tài)的變化。動態(tài)過程中每周銷售量不同，失去銷售機會（需求超過庫存）的概率不同?？砂捶€(wěn)態(tài)情況（時間充分長以后）計算失去銷售機會的概率和每周的平均銷售量。模型假設鋼琴每周需求量服從波松分布，均值為每周1架存貯策略：當周末庫存量為零時，訂購3架，周初到貨；否則，不訂購。以每周初的庫存量作為狀態(tài)變量，狀態(tài)轉移具有無后效性。在穩(wěn)態(tài)情況下計算該存貯策略失去銷售機會的概率
7、，和每周的平均銷售量。模型建立Dn~第n周需求量，均值為1的波松分布Sn~第n周初庫存量(狀態(tài)變量)狀態(tài)轉移規(guī)律Dn0123>3P0.3680.3680.1840.0610.019狀態(tài)轉移陣……模型建立狀態(tài)概率馬氏鏈的基本方程正則鏈穩(wěn)態(tài)概率分布w滿足wP=w已知初始狀態(tài)，可預測第n周初庫存量Sn=i的概率n??,狀態(tài)概率第n周失去銷售機會的概率n充分大時模型求解從長期看，失去銷售機會的可能性大約10%。1.估計在這種策略下失去銷售機會的可能性D0123>3P0.3680.3680.1840.0610.019模型求解第n周平均
8、售量從長期看，每周的平均銷售量為0.857(架)n充分大時需求不超過存量,銷售需求需求超過存量,銷售存量思考：為什么這個數(shù)值略小于每周平均需求量1(架)?2.估計這種策略下每周的平均銷售量敏感性分析當平均需求在每周1(架)附近波動時，最終結果有多大變化。設Dn服從均值為?的波松分布狀態(tài)轉移
