第六講 馬氏鏈模型.ppt

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1、數(shù)學建模第三章線性代數(shù)模型線性代數(shù)模型Durer魔方植物基因的分布常染色體的隱性疾病馬爾科夫鏈模型四馬爾科夫鏈模型MarkovChainModel課堂討論討論材料1某商店每月考察一次經(jīng)營情況，其結果用銷路好或銷路壞這兩種狀況之一表示。已知如果本月銷路好，下月仍保持這種狀況的概率為0.5；如果本月銷路壞，下月轉變?yōu)殇N路好的概率為0.4。試分析假若開始時商店處于銷路好的狀況，那么經(jīng)過若干月后能保持銷路好的概率有多大？若開始時商店處于銷路壞的狀況呢？商店的經(jīng)營問題推測會有什么結果怎么證明你的結果由此問題想到什么0123410.50.45

2、0.4450.4445？00.50.550.5550.5555？1分析情形1開始經(jīng)營好0123400.40.440.4440.4444？10.60.560.5560.5556？情形2開始經(jīng)營壞不管開始經(jīng)營情況如何，經(jīng)過足夠長時間后，商店銷路不好的概率大于好的概率，好壞的可能是4/9和5/9推測：表示銷路好；表示銷路壞；2問題分析及符號說明商店的經(jīng)營狀況是隨機的，每月轉變一次。建模目標是經(jīng)過一段時間（若干月）后，經(jīng)營狀況如何，即經(jīng)營好或經(jīng)營壞的概率分別為多少？用隨機變量表示第n個月的經(jīng)營狀況稱為這個經(jīng)營系統(tǒng)的狀態(tài)。用表示第月處于狀態(tài)

3、的概率，即稱為狀態(tài)概率。表示已知這月處于狀態(tài)下月處于狀態(tài)的概率，即稱為狀態(tài)轉移概率。0.50.40.50.612狀態(tài)及轉移情況圖3建模令P概率轉移矩陣4求解P特征值為1，1/10當當5結論不論初始狀態(tài)如何，經(jīng)過相當長的時間后經(jīng)營狀態(tài)趨于穩(wěn)定的概率。注意到經(jīng)營系統(tǒng)在每個時期所處的狀態(tài)是隨機的，但從這個時期到下個時期的狀態(tài)按照一定的概率進行轉移，并且下個時期的狀態(tài)只取決于這個時期的狀態(tài)和轉移概率，與以前各個時期的狀態(tài)無關。這種性質稱為無后效性，或馬爾可夫（Markov）性，即已知現(xiàn)在，將來與歷史無關。具有無后效性的，時間、狀態(tài)均為離散

4、的隨機轉移過程，通常用馬氏鏈（MarkovChain）模型描述。馬氏鏈模型在經(jīng)濟、社會、生態(tài)、遺傳等許多領域有廣泛應用，不僅可以解決隨即轉移過程，還可以處理一些確定性系統(tǒng)的狀態(tài)轉移問題。健康與疾病問題人壽保險公司對受保人的健康狀況非常關注，需通過大量的數(shù)據(jù)對狀態(tài)轉變的概率作出估計，才能制定出不同年齡、不同健康狀況的人的保險金和理賠金數(shù)額。假定對某一年齡段的人，今年健康、明年保持健康狀態(tài)的概率為0.8，即明年轉為疾病狀態(tài)的概率為0.2；而今年患病、明年轉為健康狀態(tài)的概率為0.7，即明年保持疾病狀態(tài)的概率為0.3。如果一個人投保時處于

5、健康狀態(tài)，研究若干年后他分別處于兩種狀態(tài)的概率。討論材料2比較材料1與材料2的結果，你能得出什么結論？人壽保險公司考慮到人的死亡情況，把死亡作為第三種狀態(tài)情況如何？0.20.70.80.312經(jīng)計算0123410.80.780.7780.77787/900.20.220.2220.22222/90123400.70.770.7770.77777/900.30.230.2230.22232/90.02問題的進一步考慮人壽保險公司考慮到人的死亡情況，把死亡作為第三種狀態(tài)，用表示。0.180.650.80.251230.1設表示狀態(tài)概率

6、，表示狀態(tài)轉移概率，,其值見上圖。第年的狀態(tài)概率可由全概率公式得到：建模第年的狀態(tài)概率可由全概率公式得到：經(jīng)計算0123305010.80.7570.72850.26980.1293000.180.1890.18350.06800.0326000.020.0540.08800.66210.83811如果設初始狀態(tài)概率為則當時，的趨向與上表相同。結論：不管初始狀態(tài)如何，最終都要轉到狀態(tài)3，這代表了另一種重要的馬氏鏈類型。，當它的所有分量是非負，一般地，一個行向量且行和為1，稱此向量為概率向量。每行都為概率向量的矩陣，稱為概率轉移矩陣

7、。正則鏈吸收鏈定義1一個有個狀態(tài)的馬氏鏈如果存在正整數(shù)使從任意狀態(tài)經(jīng)過次轉移都以大于零的概率到達狀態(tài)，則稱為正則鏈。特點從任意狀態(tài)出發(fā)經(jīng)過有限次轉移都能到達另外的任意狀態(tài)。定義2轉移概率的狀態(tài)稱為吸收狀態(tài)。如果馬氏鏈至少包含一個吸收狀態(tài)，并且從每一個非吸收狀態(tài)出發(fā)，能以正的概率經(jīng)有限次轉移到達某個吸收狀態(tài)，那么這個馬氏鏈稱為吸收鏈。吸收鏈的轉移矩陣的標準形式：個吸收狀態(tài)，其中，階子方陣的特征值滿足個非吸收態(tài)定理1若馬氏鏈的轉移矩陣為，則它是正則鏈的充要條件是，存在正整數(shù)使（指的每一元素大于零）。（用這個定理檢驗一個馬氏鏈是否為正則

8、鏈。）西北大學數(shù)學系定理2由存在，記作的每一行都是穩(wěn)態(tài)概率使得當時狀態(tài)概率概率無關。正則鏈存在唯一的極限狀態(tài)概率與初始狀態(tài)由又稱為穩(wěn)態(tài)概率。西北大學數(shù)學系上例中西北大學數(shù)學系馬氏鏈模型的應用1信息傳播問題一條消息在等人中傳播，傳播的方式是傳給傳給如