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1、第六章利用元素法解決:定積分在幾何上的應(yīng)用定積分在物理上的應(yīng)用定積分的應(yīng)用第一節(jié)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束定積分的元素法一、什么問題可以用定積分解決?二、如何應(yīng)用定積分解決問題?第六章表示為一、什么問題可以用定積分解決?1)所求量U是與區(qū)間[a,b]上的某分布f(x)有關(guān)的2)U對區(qū)間[a,b]具有可加性,即可通過“大化小,常代變,近似和,取極限”定積分定義機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束一個(gè)整體量;二、如何應(yīng)用定積分解決問題?第一步利用“化整為零,以常代變”求出局部量的微分表達(dá)式第二步利用“積零為整,無限累加”求出整體量的積分表達(dá)式這種分析方法成為元素法(或微元分析法)元素的幾何形狀常取為:條,帶
2、,段,環(huán),扇,片,殼等近似值精確值第二節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束四、旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積(補(bǔ)充)三、已知平行截面面積函數(shù)的立體體積第二節(jié)一、平面圖形的面積二、平面曲線的弧長機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用第六章一、平面圖形的面積1.直角坐標(biāo)情形設(shè)曲線與直線及x軸所圍曲則機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束邊梯形面積為A,右下圖所示圖形面積為例1.計(jì)算兩條拋物線在第一象限所圍所圍圖形的面積.解:由得交點(diǎn)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.計(jì)算拋物線與直線的面積.解:由得交點(diǎn)所圍圖形為簡便計(jì)算,選取y作積分變量,則有機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例3.求橢圓解:利用對稱性,所圍圖形的面積.有利用橢圓的參數(shù)方程應(yīng)用
3、定積分換元法得當(dāng)a=b時(shí)得圓面積公式機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束一般地,當(dāng)曲邊梯形的曲邊由參數(shù)方程給出時(shí),按順時(shí)針方向規(guī)定起點(diǎn)和終點(diǎn)的參數(shù)值則曲邊梯形面積機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例4.求由擺線的一拱與x軸所圍平面圖形的面積.解:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2.極坐標(biāo)情形求由曲線及圍成的曲邊扇形的面積.在區(qū)間上任取小區(qū)間則對應(yīng)該小區(qū)間上曲邊扇形面積的近似值為所求曲邊扇形的面積為機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束對應(yīng)?從0變例5.計(jì)算阿基米德螺線解:點(diǎn)擊圖片任意處播放開始或暫停機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束到2?所圍圖形面積.例6.計(jì)算心形線所圍圖形的面積.解:(利用對稱性)心形線目錄上頁下頁返回結(jié)束心形線(外擺線的
4、一種)即點(diǎn)擊圖中任意點(diǎn)動畫開始或暫停尖點(diǎn):面積:弧長:參數(shù)的幾何意義例7.計(jì)算心形線與圓所圍圖形的面積.解:利用對稱性,所求面積機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例8.求雙紐線所圍圖形面積.解:利用對稱性,則所求面積為思考:用定積分表示該雙紐線與圓所圍公共部分的面積.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束答案:二、平面曲線的弧長定義:若在弧AB上任意作內(nèi)接折線,當(dāng)折線段的最大邊長?→0時(shí),折線的長度趨向于一個(gè)確定的極限,此極限為曲線弧AB的弧長,即并稱此曲線弧為可求長的.定理:任意光滑曲線弧都是可求長的.(證明略)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束則稱(1)曲線弧由直角坐標(biāo)方程給出:弧長元素(弧微分):因此所求弧長(P16
5、8)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束(2)曲線弧由參數(shù)方程給出:弧長元素(弧微分):因此所求弧長機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束(3)曲線弧由極坐標(biāo)方程給出:因此所求弧長則得弧長元素(弧微分):(自己驗(yàn)證)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例9.兩根電線桿之間的電線,由于其本身的重量,成懸鏈線.求這一段弧長.解:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束下垂懸鏈線方程為例10.求連續(xù)曲線段解:的弧長.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例11.計(jì)算擺線一拱的弧長.解:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例12.求阿基米德螺線相應(yīng)于0≤?≤2?一段的弧長.解:(P349公式39)小結(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束三、已知平行截面面積函數(shù)的立體體積設(shè)所給立體垂直于x軸的
6、截面面積為A(x),則對應(yīng)于小區(qū)間的體積元素為因此所求立體體積為機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束上連續(xù),特別,當(dāng)考慮連續(xù)曲線段軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時(shí),有當(dāng)考慮連續(xù)曲線段繞y軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時(shí),有機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例13.計(jì)算由橢圓所圍圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積.解:方法1利用直角坐標(biāo)方程則(利用對稱性)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束方法2利用橢圓參數(shù)方程則特別當(dāng)b=a時(shí),就得半徑為a的球體的體積機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例14.計(jì)算擺線的一拱與y＝0所圍成的圖形分別繞x軸,y軸旋轉(zhuǎn)而成的立體體積.解:繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為利用對稱性機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為
7、注意上下限!注注目錄上頁下頁返回結(jié)束分部積分注(利用“偶倍奇零”)柱殼體積說明:柱面面積機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束偶函數(shù)奇函數(shù)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例15.設(shè)在x≥0時(shí)為連續(xù)的非負(fù)函數(shù),且形繞直線x＝t旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體體積,證明:證:利用柱殼法則機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束故例16.一平面經(jīng)過半徑為R的圓柱體的底圓中心,并與底面交成?角,解:如圖所示取坐標(biāo)系,則圓的方程為垂直于x軸的截面是直角三角形,其面積為利用對稱性計(jì)算
