數(shù)值微分和數(shù)值積分

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1、第二章數(shù)值微分和數(shù)值積分?jǐn)?shù)值微分函數(shù)f(x)以離散點(diǎn)列給出時(shí)，而要求我們給出導(dǎo)數(shù)值，函數(shù)f(x)過于復(fù)雜這兩種情況都要求我們用數(shù)值的方法求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值微積分中，關(guān)于導(dǎo)數(shù)的定義如下：自然，而又簡(jiǎn)單的方法就是，取極限的近似值，即差商向前差商x0x0+h由Taylor展開因此，有誤差向后差商x0-hx0由Taylor展開因此，有誤差中心差商x0-hx0x0+h由Taylor展開因此，有誤差f(x)=exp(x)hf’(1.15)R(x)hf’(1.15)R(x)0.103.1630-0.00480.053.1590-0.00080.093.1622-0.004

2、00.043.1588-0.00060.083.1613-0.00310.033.1583-0.00010.073.1607-0.00250.023.1575-0.00070.063.1600-0.00180.013.1550-0.0032例：由誤差表達(dá)式，h越小，誤差越小，但同時(shí)舍入誤差增大，所以，有個(gè)最佳步長(zhǎng)我們可以用事后誤差估計(jì)的方法來確定設(shè)D(h),D(h/2)分別為步長(zhǎng)為h,h/2的差商公式。則時(shí)的步長(zhǎng)h/2就是合適的步長(zhǎng)插值是建立逼近函數(shù)的手段，用以研究原函數(shù)的性質(zhì)。因此，可以用插值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)近似為原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)誤差插值型數(shù)值微分用Taylor

3、展開分析給定點(diǎn)列且，求解：例：Taylor展開分析，可以知道，它們都是稱為三點(diǎn)公式數(shù)值積分關(guān)于積分，有Newton-Leibniz公式但是，在很多情況下，還是要數(shù)值積分：1、函數(shù)由離散數(shù)據(jù)組成2、原函數(shù)F(x)求不出3、F(x)非常復(fù)雜定義數(shù)值積分如下：是離散點(diǎn)上的函數(shù)值的線性組合稱為積分系數(shù)，與f(x)無關(guān)，與積分區(qū)間和積分點(diǎn)有關(guān)為數(shù)值積分，為積分，則稱數(shù)值積分有k階代數(shù)精度是指：兩個(gè)問題：1、系數(shù)ai如何選取，即選取原則？2、若節(jié)點(diǎn)可以自由選取，取什么點(diǎn)好？代數(shù)精度對(duì)任意次數(shù)不高于k次的多項(xiàng)式f(x)，數(shù)值積分沒有誤差用插值函數(shù)的積分，作為數(shù)值積分代

4、數(shù)精度由Lagrange插值的誤差表達(dá)式，，有可以看出，至少n階代數(shù)精度插值型Vandermonde行列式使用盡可能高的代數(shù)精度已知求系數(shù)所以，要存在唯一，m＝n，確定一個(gè)n＋1階的方程組前面得到的系數(shù)是最好的嗎？所以，m=n時(shí)存在唯一，且至少n階代數(shù)精度。與節(jié)點(diǎn)的選取無關(guān)。若數(shù)值積分至少n階代數(shù)精度，則系數(shù)唯一誤差一點(diǎn)數(shù)值積分0階代數(shù)精度1階代數(shù)精度例：Newton-Cote’s積分若節(jié)點(diǎn)可以自由選取，則，一個(gè)自然的辦法就是取等距節(jié)點(diǎn)。對(duì)區(qū)間做等距分割。該數(shù)值積分稱為Newton-Cote’s積分設(shè)節(jié)點(diǎn)步長(zhǎng)(b-a)與步長(zhǎng)h無關(guān)，可以預(yù)先求出n＝1時(shí)梯

5、形公式n＝2時(shí)Simpson公式1、梯形公式此處用了積分中值定理誤差2、Simpson公式注意到，Simpson公式有3階代數(shù)精度，因此為了對(duì)誤差有更精確地估計(jì)，我們用3次多項(xiàng)式估計(jì)誤差為0一般的有因此，N-C積分，對(duì)偶數(shù)有n+1階代數(shù)精度，而奇數(shù)為n階代數(shù)精度復(fù)化積分?jǐn)?shù)值積分公式與多項(xiàng)式插值有很大的關(guān)系。因此Runge現(xiàn)象的存在，使得我們不能用太多的積分點(diǎn)計(jì)算。采用與插值時(shí)候類似，我們采用分段、低階的方法誤差做等距節(jié)點(diǎn)，復(fù)化梯形公式由均值定理知可以看出，復(fù)化梯形公式是收斂的。如果節(jié)點(diǎn)不等距，還可以做復(fù)化積分嗎？怎么處理？誤差做等距節(jié)點(diǎn)，復(fù)化Simpso

6、n公式由均值定理知可以看出，復(fù)化Simpson公式是收斂的。定義若一個(gè)積分公式的誤差滿足且C?0，則稱該公式是p階收斂的。~~~例：計(jì)算解：其中=3.138988494其中=3.141592502運(yùn)算量基本相同函數(shù)變化有急有緩，為了照顧變化劇烈部分的誤差，我們需要加密格點(diǎn)。對(duì)于變化緩慢的部分，加密格點(diǎn)會(huì)造成計(jì)算的浪費(fèi)。以此我們介紹一種算法，可以自動(dòng)在變化劇烈的地方加密格點(diǎn)計(jì)算，而變化緩慢的地方，則取稀疏的格點(diǎn)。積分的自適應(yīng)計(jì)算①先看看事后誤差估計(jì)以復(fù)化梯形公式為例n等分區(qū)間2n等分區(qū)間近似有：類似，復(fù)化Simpson公式②自適應(yīng)計(jì)算記為復(fù)化一次，2次的S

7、impson公式控制求是由前面的事后誤差估計(jì)式，則，這啟發(fā)我們，可以用低階的公式組合后成為一個(gè)高階的公式。類似，Romberg積分記為以步長(zhǎng)為h的某數(shù)值積分公式，有有如下的Euler-Maclaurin定理若為2m階公式，則Romberg積分就是不斷地用如上定理組合低階公式為高階公式，進(jìn)而計(jì)算積分?Romberg算法：

8、行修正而得到更近似的公式，它已不是前面所講的插值求積的思想了，這是一種新的方法，