數(shù)值積分和數(shù)值微分

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1、計算定積分有微積分基本公式但很多函數(shù)找不到原函數(shù)，如等。而實際上，有很多函數(shù)只知一些離散點的函數(shù)值，并無表達式，這就需要利用已知條件求出近似值。第5章數(shù)值積分與數(shù)值微分x12345f(x)44.5688.51數(shù)值積分/NumericalIntegration/定義數(shù)值積分如下：是離散點上的函數(shù)值的線性組合稱為求積系數(shù),與f(x)無關,與積分區(qū)間和求積節(jié)點有關稱為數(shù)值積分公式數(shù)值積分問題可分解為下述三個問題：1、求積公式的具體構造問題；(包括xi的選取和Ai的構造)3、精確性程度的衡量標準問題。2、余項估計問題(亦即誤差估計問題)；求積公式的誤差R[f]

2、＝I*[f]－I[f]21、解決第一個問題；節(jié)點xi和系數(shù)Ai如何選取，即選取原則兩個目標：1、余項估計問題；求積公式的誤差R[f]＝I*[f]－I[f]盡可能小。2、求積公式的代數(shù)精度盡可能高。2、解決第二個問題；依賴插值多項式的余項估計公式。3、對于第三個問題；引進代數(shù)精度的概念3定義5.1若求積公式對?(x)=xj(j=0,1,2,…,m)都精確成立,但對?(x)=xm+1不精確成立,即則稱此公式具有m次代數(shù)精度.可見,若公式具有m次代數(shù)精度,則公式對所有次數(shù)不超過m的多項式都精確成立.注意：１、求積公式的誤差是計算精度的度量標志，而代數(shù)精度是求

3、積公式優(yōu)良性能的標志。2、求積公式的誤差小，不代表代數(shù)精度高。代數(shù)精度高，也不代表求積公式的誤差小。它們沒有必然聯(lián)系。4例1確定形如的求積公式，使其代數(shù)精度盡可能高。數(shù)值求積公式為解令公式對?(x)=1,x,x2都精確成立,則A0+A1+A2=3A1+3A2=4.5A1+9A2=9解之得:A0=0,A1=9/4,A2=3/4.例2試確定參數(shù)A0,A1,A2,使求積公式具有盡可能高的代數(shù)精度,并問代數(shù)精度是多少?5解得:A0=A2=1/3,A1=4/3.求積公式為當?(x)=x3時,左=0,右=0,公式也精確成立.解令公式對?(x)=1,x,x2都精確成

4、立,則A0+A1+A2=2-A0+A2=0A0+A2=2/3當?(x)=x4時,左=2/5,右=2/3,公式不精確成立.所以,此公式的代數(shù)精度為3.6例3試確定參數(shù)A0,A1和x0,x1,使求積公式具有盡可能高的代數(shù)精度,并問代數(shù)精度是多少?解令公式對?(x)=1,x,x2,x3都精確成立,則A0+A1=2A0x0+A1x1=0A0x02+A1x12=2/3A0x03+A1x13=0解得:求積公式為求積公式的代數(shù)精度為3。75.1插值型求積公式思路利用插值多項式，則積分易算。?在[a,b]上取a?x0

5、k由決定，與無關。節(jié)點f(x)插值型積分公式誤差8例：對于[a,b]上1次插值，有考察其代數(shù)精度。f(x)abf(a)f(b)梯形公式/*trapezoidalrule*/解：逐次檢查公式是否精確成立代入P0=1：=代入P1=x：=代入P2=x2：?代數(shù)精度=1定理：形如的求積公式至少有n次代數(shù)精度?該公式為插值型（即：）9為了簡化計算,取等距節(jié)點xk=a+kh,(k=0,1,2,…,n,則有令則有稱為Newton-Cotes公式.Ck(n)稱為Cotes系數(shù).(5.6)它不僅與函數(shù)f(x)無關，而且與積分區(qū)間[a,b]無關。10例1設?(x)?C2[

6、a,b],求n=1時的Newton-Cotes公式并估計誤差.解計算Cotes系數(shù)于是有5.2幾個常用的求積公式從幾何上看:用梯形的面積近似曲邊梯形的面積。所以公式=T也稱為梯形公式,記為T.11稱之為Simpson公式或拋物線公式，記為S.構造三次多項式H3(x),使?jié)M足H3(a)=?(a),H3(b)=?(b),于是有容易證明Simpson公式對不高于三次的多項式精確成立,即這時插值誤差為=S.例2.設?(x)?C4[a,b],求n=2時的Newton-Cotes公式并估計誤差.解計算Cotes系數(shù)12于是有13由于構造Newton-Cotes公式

7、需要Cotes系數(shù),將其列表如下:14（3）牛頓求積公式：代數(shù)精度=315例3求n=4的Newton-Cotes公式及誤差.解查表可得于是有稱之為Cotes公式，記為C。其誤差為其中,xk=a+kh,k=0,1,2,3,4,h=(b-a)/4.代數(shù)精度=516一般地,Newton-Cotes公式的截斷誤差為例4用梯形公式、Simpson公式和Cotes公式求積分的近似值。解I?T=1/2*(4+2)=3I?S=1/6*(4+12.8+2)=3.13333I?C=1/90*(28+…+14)=3.14212175.3復化求積公式高次插值有Runge現(xiàn)象，

8、故采用分段低次插值?分段低次合成的Newton-Cotes復化求積公式。?復化梯形公式：在每個