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1、第2.4節(jié)區(qū)間估計一、區(qū)間估計的概念二、正態(tài)總體數學期望的置信區(qū)間三、正態(tài)總體方差的區(qū)間估計四、兩個正態(tài)總體均值差的區(qū)間估計五、兩個正態(tài)總體方差比的區(qū)間估計六、單側置信區(qū)間七、非正態(tài)總體參數的區(qū)間估計一、區(qū)間估計基本概念1.問題的提出點估計法：不足之處：例如問：很小較大區(qū)間估計解決了上述問題，從而克服了點估計的不足之處.2.置信區(qū)間與置信度定義2.11關于定義的說明若反復抽樣多次(各次得到的樣本容量相等,都是n)按貝努利大數定理,當抽樣次數充分大時，在這些區(qū)間中包含?真值的頻率接近置信度1??,即例如一旦有了樣本，就把估計在區(qū)間內.這里有兩個要求:由定義
2、可見，對參數作區(qū)間估計，就是要設法找出兩個只依賴于樣本的界限(構造統(tǒng)計量)(X1,…Xn)(X1,…Xn)2.估計的精度要盡可能的高.如要求區(qū)間長度盡可能短，或能體現該要求的其它準則.1.要求以很大的可能被包含在區(qū)間內，就是說，概率要盡可能大.即要求估計盡量可靠.可靠度與精度是一對矛盾，一般是在保證可靠度的條件下盡可能提高精度.3.求置信區(qū)間的一般步驟(共3步)3°求解不等式二、正態(tài)總體數學期望的置信區(qū)間4°作等價變形簡寫成其置信區(qū)間的長度為注置信區(qū)間不唯一，但上述結論區(qū)間長度最小例1包糖機某日開工包了12包糖,稱得重量(單位:克)分別為506,500,
3、495,488,504,486,505,513,521,520,512,485.假設重量服從正態(tài)分布,解附表2-1附表2-2查表得4°作等價變形簡寫成例2解有一大批糖果,現從中隨機地取16袋,稱得重量(克)如下:設袋裝糖果的重量服從正態(tài)分布,試求總體均值附表3-1就是說估計袋裝糖果重量的均值在500.4克與507.1克之間,這個估計的可信程度為95%.這個誤差的可信度為95%.例3解附表3-2(續(xù)例1)如果只假設糖包的重量服從正態(tài)分布三、正態(tài)總體方差的區(qū)間估計推導過程如下:根據第1章第三節(jié)定理1.12可知進一步可得:注意:在密度函數不對稱時,習慣上仍取對
4、稱的分位點來確定置信區(qū)間(如圖).注此置信區(qū)間長度并非最短例4(續(xù)例2)求例2中總體標準差?的置信度為0.95的置信區(qū)間.解代入公式得標準差的置信區(qū)間附表4-1附表4-2四、兩個正態(tài)總體均值差的區(qū)間估計本章將討論兩個總體均值差和方差比的估計問題.推導過程如下:為比較?,??兩種型號步槍子彈的槍口速度,隨機地取?型子彈10發(fā),得到槍口速度的平均值為隨機地取??型子彈20發(fā),得槍口速度平均值為假設兩總體都可認為近似地服從正態(tài)分布,且由生產過程可認為它們的方差相等,求兩總體均值差信區(qū)間.解由題意,兩總體樣本獨立且方差相等(但未知),例5五、兩個正態(tài)總體方差比的
5、區(qū)間估計推導過程如下:根據F分布的結構,知例6(p69例2.30)為了考察溫度對某物體斷裂強力的影響，在70度和80度分別重復做了8次試驗，測得的斷裂強力的數據如下(單位Pa):70度：20.5,18.8,19.8,21.5,19.5,21.0,21.280度：17.7,20.3,20.0,18.8,19.0,20.1,20.2,19.1解附表5-1六、單側置信區(qū)間但在某些實際問題中,例如,對于設備、元件的壽命來說,平均壽命長是我們希望的,我們關心的是平均壽命的“下限”;與之相反,在考慮產品的廢品率p時,我們常關心參數p的“上限”,這就引出了單側置信區(qū)間
6、的概念.1.單側置信區(qū)間的定義2.正態(tài)總體均值與方差的單側置信區(qū)間注其他結果可以參見p70表2.3.設從一批燈泡中,隨機地取10只作壽命試驗,測得樣本壽命均值(以小時計)為1500h,樣本的修正均方差為20h,設燈泡壽命服從正態(tài)分布,求燈泡壽命平均值的置信度為0.95的單側置信下限.解例7(p71例2.31)解例8*七、非正態(tài)總體參數的區(qū)間估計1、利用漸近正態(tài)性取代精確分布由于統(tǒng)計量的精確抽樣分布很難計算，因而通?？梢岳媒品植既〈_分布。一般總體均值的置信區(qū)間：首先回顧定理1.18定理1.18由定理可得：由此可得總體期望?置信度為1-?置信區(qū)間為這
7、是因為將這個結果代入置信區(qū)間公式即得參數p的置信區(qū)間例9(p72例2.32)在試驗的1000個電子元件中，共100個失效，試以99%的概率估計整批產品的實效率.解由題意可知，每個元件服從兩點分布B(1,p),其中，n=1000,m=100,1-?=0.95,因而實效率p的置信區(qū)間為例10(p72例2.33)設總體X的分布密度為解此分布為指數分布，容易證明:但是，伽瑪分布的上側分位數很難找，因而需要做一定的變換才可以，不難證明:則有例11(p73例2.34)設總體X服從(0,?)上的均勻分布，解又由于同時我們知道則由此可見：?越小，精確度越高，n越大，精確
8、度越大。再見附表2-1標準正態(tài)分布表z01234567890.00.10.20.
