光學(xué)成像系統(tǒng)的頻率特性

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1、第三章光學(xué)成像系統(tǒng)的頻率特性習(xí)題[3.1]/一個(gè)衍射屏具有下述圓對(duì)稱的振幅透過(guò)函數(shù)：式中，，為圓形衍射屏的半徑。問(wèn)：（1）這個(gè)屏的作用在什么方面像一個(gè)透鏡？（2）給出此屏的焦距的表達(dá)式。（3）若用它做成像元件，有什么缺點(diǎn)？解：(1)此衍射屏的復(fù)振幅如附圖3.1所示，也可把它表示為如下的直角坐標(biāo)形式：式中，中括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)僅僅是使直接投射光的振幅衰減，其他兩個(gè)指數(shù)項(xiàng)與透鏡相位變換因子比較，形式相同。當(dāng)用平面波垂直照射時(shí)，這兩項(xiàng)的作用是分別產(chǎn)生會(huì)聚球面波和發(fā)散球面波。因此在成像性質(zhì)和傅里葉變換性質(zhì)上該衍射屏都類似于透鏡。因子表明，該屏具有半徑為的圓形孔徑。(2)把衍射屏

2、復(fù)振幅透過(guò)率中的復(fù)指數(shù)項(xiàng)與透鏡的位相變換因子作比較，便得相應(yīng)的焦距，即對(duì)于項(xiàng)，令，則有，相當(dāng)于會(huì)聚透鏡。對(duì)于項(xiàng)，令，則有，相當(dāng)于發(fā)散透鏡。對(duì)于這一項(xiàng)，平行光直接透過(guò)，僅振幅衰減，可視為。(3)由于該衍射屏具有三重焦距，當(dāng)用作成像裝置時(shí)，便可對(duì)同一物體形成三個(gè)像。例如對(duì)無(wú)窮遠(yuǎn)的點(diǎn)光源，將分別在屏的兩側(cè)對(duì)稱位置形成實(shí)像和虛像，而另一個(gè)像在無(wú)窮遠(yuǎn)（直接透射光）。當(dāng)觀察者觀察其中一個(gè)像時(shí)，會(huì)同時(shí)看到另外的離焦像，無(wú)法分離開。若用接收屏來(lái)接收，則在任何一個(gè)像面上都會(huì)有離焦像形成的背景干擾。此外，對(duì)于多色物體來(lái)說(shuō)，嚴(yán)重的色差也是一個(gè)重要的限制，因?yàn)榻咕喽寂c波長(zhǎng)成反比。若用白光作

3、光源，則在像面上可以看到嚴(yán)重的色散現(xiàn)象。附圖3.1習(xí)題[3.1]圖示[3.2]試由式（3.1.10）直接導(dǎo)出式（3.1.11）。解：令P(x,y）=1,將式（3.1.10）積分號(hào)內(nèi)各指數(shù)因子展開，利用，消去后，有：令并應(yīng)用公式：及縮放定理，有再令即得式（3.1.11）。[3.3]/用一束單位振幅的平面波垂直入射照明一個(gè)透鏡。透鏡直徑為5cm，焦距為20cm，在透鏡后面10cm的地方，以透鏡軸為中心放著一個(gè)物體，其振幅透過(guò)率為：假定L=1cm,,大致畫出焦平面上沿x軸的強(qiáng)度分布，標(biāo)出各個(gè)衍射分量之間的距離和各個(gè)分量的寬度（第一個(gè)零點(diǎn)之間的距離）的數(shù)值。解：/由附圖3.

4、2可知，物平面被照明光斑的直徑為2.5cm。物體是一個(gè)正弦振幅光柵，其附圖3.2習(xí)題[3.3]圖示最大線度（對(duì)角線方向）為，故物體可以被完全照明。后焦面上的復(fù)振幅分為：強(qiáng)度分布為：這里因，故未考慮3個(gè)函數(shù)間的重疊。代入題設(shè)數(shù)據(jù)，得：其中的單位取為cm。在軸上兩個(gè)一級(jí)分量中心離原點(diǎn)距離為：；零級(jí)分量第一個(gè)零點(diǎn)的位置為；兩個(gè)一級(jí)分量與中央亮斑的的寬度相同，都是而其幅值只為零級(jí)分量的。如附圖3.3所示。附圖3.3歸一化強(qiáng)度分布[3.4]將面積為10mm10mm的透射物體置于一傅里葉變換透鏡的前焦面上作頻譜分析。用波長(zhǎng)的單色平面波垂直照明，要求在頻譜面上測(cè)得的強(qiáng)度在頻率14

5、0線/mm以下能準(zhǔn)確代表物體的功率譜。并要求頻率為140線/mm與20線/mm在頻譜面上的間隔為30mm,問(wèn)該透鏡的焦距和口徑各為多少？解：取面積為的透射物體的對(duì)角線方向?yàn)檩S。因要求在140線/mm以下的空間頻率成分不受到有限孔徑的漸暈效應(yīng)的影響，故透鏡的口徑應(yīng)滿足條件：①按題意，要求：②綜合式①、②求得：[3.5]/一菲涅耳波帶片的復(fù)振幅透過(guò)率為：如附圖3.4所示。證明它的作用相當(dāng)于一個(gè)有多重焦距的透鏡，并確定這些焦距的大小。附圖3.4習(xí)題[3.5]圖示解：/由函數(shù)的定義可知：①式中為整數(shù)。令，顯然上式是的周期函數(shù)，周期為，故可展成傅里葉級(jí)數(shù)：其中，遂有：②上式表

6、示一個(gè)方波函數(shù)，最后求得復(fù)振幅透過(guò)率為：或以直角坐標(biāo)表示成：③上式中的指數(shù)因子類似于透鏡的位相變換因子，遂有：④換言之，可以把該衍射屏看作一個(gè)具有多重焦點(diǎn)的透鏡，焦距由式④確定。當(dāng)偶數(shù)時(shí)（零除外），，故當(dāng)用單色平面光波垂直照明時(shí)，透射光中不包含為偶數(shù)的成分。對(duì)于為奇數(shù)的情況，透射光中包含有無(wú)窮多個(gè)球面波。當(dāng)取負(fù)值時(shí)，為正，是會(huì)聚球面波，它可得到實(shí)焦點(diǎn)；當(dāng)取正值時(shí)，為負(fù)，是發(fā)散球面波，它可得到虛焦點(diǎn)。[3.6]一物體的振幅透過(guò)率為一方波，如附圖3.5所示，通過(guò)一光瞳為圓形的透鏡成像。透鏡的焦距為10cm，方波的基頻是1000線/cm，物距為20cm，波長(zhǎng)為cm。問(wèn)在以

7、下兩種情況下：（1）物體用相干光照明時(shí)；（2）物體用非相干光照明時(shí)；透鏡的直徑最小應(yīng)為多少，才會(huì)使像平面上出現(xiàn)強(qiáng)度的任何變化？附圖3.5習(xí)題[3.6]圖示解：按題意，系統(tǒng)的截止頻率應(yīng)大于物函數(shù)的基頻。遂得：(1)相干照明時(shí)，。由透鏡定律算得。故由求得。(2)非相干照明時(shí)，故求得。[3.7]一個(gè)衍射受限成像系統(tǒng)，其出射光瞳是邊長(zhǎng)為的正方形，若在光瞳中心嵌入一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形不透明屏，試畫出的函數(shù)圖像。解：由OTF的幾何解釋，有：式中為光瞳面積，為光瞳重疊面積。，光瞳重疊面積則應(yīng)分5個(gè)區(qū)間來(lái)考察，參閱附圖3.6。①②③④(見(jiàn)附圖3.6(d))⑤這時(shí)，從而。綜合上述5