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1、第十七講Ⅰ授課題目：§3.2洛必塔法則Ⅱ教學(xué)目的與要求：1.掌握用羅必塔法則求極限；2.明了使用羅必塔法則的條件；3.了解將羅必塔法則與極限運(yùn)算性質(zhì)結(jié)合使用常能簡(jiǎn)化運(yùn)算。Ⅲ教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：重點(diǎn)：各種類型的未定式轉(zhuǎn)化為或型的未定式難點(diǎn)：羅必塔法則與極限運(yùn)算性質(zhì)的結(jié)合使用Ⅳ講授內(nèi)容：§3.2洛必塔法則如果當(dāng)（或）時(shí)，兩個(gè)函數(shù)與都趨于零或都趨于無(wú)窮大，那末極限可能存在、也可能不存在．通常把這種極限叫做未定式，并分別簡(jiǎn)記為或.在第一章第六節(jié)中討論過(guò)的極限就是未定式的一個(gè)例子．對(duì)于這類極限，即使它存在也不能用“商的極限等于極限的商”這—法則．下面
2、我們將根據(jù)柯西中值定理來(lái)推出求這類極限的一種簡(jiǎn)便且重要的方法．我們著重討論時(shí)的未定式的情形，關(guān)于這情形有以下定理：定理1設(shè)(1)當(dāng)時(shí)，函數(shù)及都趨于零；(2)在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)，及都存在且；（3）存在（或?yàn)闊o(wú)窮大），那么.這就是說(shuō)，當(dāng)存在時(shí),也存在且等于；當(dāng)為無(wú)窮大時(shí)，也是無(wú)窮大．這種在一定條件下通過(guò)分子分母分別求導(dǎo)再求極限來(lái)確定未定式的值的方法稱為洛必塔（L’Hospital）法則證明因?yàn)榍螽?dāng)時(shí)的極限與及無(wú)關(guān)，所以可以假定，于是由條件(1)、(2)知道，及在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)是連續(xù)的．設(shè)是這鄰域內(nèi)的一點(diǎn)，那么在以及為端點(diǎn)的區(qū)間上，柯西中值定
3、理的條件均滿足，因此有（在與之間）．令，并對(duì)上式兩端求極限，注意到時(shí)，再根據(jù)條件(3)便得說(shuō)明:1.如果仍屬于型,且和滿足洛必達(dá)法則的條件,可繼續(xù)使用洛必達(dá)法則,即;2.當(dāng)時(shí),該法則仍然成立,有;3.對(duì)（或）時(shí)的未定式，也有相應(yīng)的洛必達(dá)法則;4.洛必達(dá)法則是充分條件，反之不成立；5.如果數(shù)列極限也屬于未定式的極限問(wèn)題，需先將其轉(zhuǎn)換為函數(shù)極限，然后使用洛必達(dá)法則，從而求出數(shù)列極限.（因?yàn)閿?shù)列不連續(xù)，不能求導(dǎo)）例1求下列極限（1）,(型)（2）,(型)解原式==原式==注上式中的已不是未定式，不能對(duì)它應(yīng)用洛必達(dá)法則，否則要導(dǎo)致錯(cuò)誤結(jié)果．以后
4、使用洛必達(dá)法則時(shí)應(yīng)當(dāng)經(jīng)常注意這一點(diǎn)，如果不是未定式，就不能應(yīng)用洛必達(dá)法則．（3）,(型)原式===1（4）,(型).原式===1（5）,(型)原式=====注意：洛必達(dá)法則是求未定式的一種有效方法，但與其它求極限方法結(jié)合使用，效果更好.例2求下列極限（1）原式===（2）原式（3）原式練習(xí)：（1）（2）二．型未定式的求法關(guān)鍵:將其它類型未定式化為洛必達(dá)法則可解決的類型型和型.1．型未定式的求法步驟：或例3求下列極限（1）原式==（2）原式步驟：例4求下列極限（1）原式=（2）原式步驟：例3求下列極限（1）原式=（2）原式例4求下列極限（
5、1）原式=（2）原式例5求下列極限（1）原式（2）原式例6求解設(shè)，則因?yàn)?=從而原式=練習(xí)：1）（2）（3）（4）（5）Ⅴ小結(jié)與提問(wèn)：小結(jié)：1.使用羅必塔法則之前應(yīng)該驗(yàn)明其是否滿足羅必塔法則條件。2.羅必塔法則是求未定型極限的有效方法，但不是萬(wàn)能的。提問(wèn)：求極限時(shí)能否使用羅必塔法則？Ⅵ課外作業(yè)：1.(6)(7)(9)(12)(16)4.
