洛必達(dá)法則(2)(1)

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1、第二節(jié)洛必達(dá)法則在第一章中，我們?cè)?jì)算過兩個(gè)無窮小之比以及兩個(gè)無窮大之比的未定式的極限.在那里，計(jì)算未定式的極限往往需要經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖冃?，轉(zhuǎn)化成可利用極限運(yùn)算法則或重要極限的形式進(jìn)行計(jì)算.這種變形沒有一般方法，需視具體問題而定，屬于特定的方法.本節(jié)將用導(dǎo)數(shù)作為工具，給出計(jì)算未定式極限的一般方法，即洛必達(dá)法則.本節(jié)的幾個(gè)定理所給出的求極限的方法統(tǒng)稱為洛必達(dá)法則.分布圖示★洛必達(dá)法則★例1-2★例3★例4★例5★例6-7綜合應(yīng)用★例8★例9★例10★例11★例12★例13★例14★例15★例16★例17★例18★例19★例20★例21★內(nèi)容小結(jié)★課堂練習(xí)★習(xí)題3-2★返回內(nèi)容要點(diǎn)

2、一、未定式的基本類型：型與型；二、未定式的其它類型：型，型，型(1)對(duì)于型，可將乘積化為除的形式，即化為或型的未定式來計(jì)算.(2)對(duì)于型，可利用通分化為型的未定式來計(jì)算.(3)對(duì)于型，可先化以為底的指數(shù)函數(shù)的極限，再利用指數(shù)函數(shù)的連續(xù)性，化為直接求指數(shù)的極限，指數(shù)的極限為的形式，再化為或型的未定式來計(jì)算.例題選講型例1(E01)求解原式例2(E02)求解原式注:上式中,已不是未定式,不能再對(duì)它應(yīng)用洛必達(dá)法則.例3(E03)求解例4(E04)求.解注:若求為自然數(shù)）則可利用上面求出的函數(shù)極限,得例5(E05)求解例6(E06)求.解原式例7(E07)求(n為正整數(shù),).解反復(fù)

3、應(yīng)用洛必達(dá)法則次，得原式注：對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)均為當(dāng)時(shí)的無窮大，但它們?cè)龃蟮乃俣群懿灰粯?，其增大速度比較:對(duì)數(shù)函數(shù)<<冪函數(shù)<<指數(shù)函數(shù).例8求解注意到則有注:洛必達(dá)法則雖然是求未定式的一種有效方法,但若能與其它求極限的方法結(jié)合使用,效果則更好.例如能化簡(jiǎn)時(shí)應(yīng)盡可能先化簡(jiǎn)，可以應(yīng)用等價(jià)無窮小替換或重要極限時(shí)，應(yīng)盡可能應(yīng)用，以使運(yùn)算盡可能簡(jiǎn)捷.例9(E08)求解當(dāng)時(shí),故例10(E09)求.解所求極限屬于的未定式.但分子分母分別求導(dǎo)數(shù)后，將化為此式振蕩無極限,故洛必達(dá)法則失效，不能使用.但原極限是存在的,可用下法求得:例11(E10)求(型)解對(duì)于型，可將乘積化為除的形

4、式，即化為或型的未定式來計(jì)算.例12(E11)求.(型)解對(duì)于型，可利用通分化為型的未定式來計(jì)算.例13求解例14求解原式直接用洛必達(dá)法則,計(jì)算量較大.為此作變量替換,令則當(dāng)時(shí),所以型步驟例15求解例16(E12)求.()解將它變形為由于故例17求解例18求解由于所以例19求解一利用洛必達(dá)法則.解二利用兩個(gè)重要極限.例20(E14)求.(型)解例21求解因?yàn)樗哉n堂練習(xí)1.設(shè)有一階導(dǎo)數(shù),求2.設(shè)是未定式極限,如果的極限不存在且不為,是否的極限也一定不存在?舉例說明.洛必達(dá)（L’Hospital，1661~1704）簡(jiǎn)介：洛必達(dá)(L’Hospital)是法國(guó)數(shù)學(xué)家，1661年

5、生于巴黎，1704年2月2日卒于巴黎。洛必達(dá)生于法國(guó)貴族家庭，他擁有圣梅特候爵，昂特爾芒伯爵稱號(hào)。青年時(shí)期一度任騎兵軍官，因眼睛近視自行告退，轉(zhuǎn)向從事學(xué)術(shù)研究。洛必達(dá)很早即顯示出其數(shù)學(xué)的才華，15歲時(shí)就解決了帕斯卡所進(jìn)出的一個(gè)擺線難題。洛必達(dá)是萊布尼茲微積分的忠實(shí)信徒，并且是約翰.伯努利的高足，成功地解答過約。伯努利提出的“最速降線”問題。他是法國(guó)科學(xué)院院士。洛必達(dá)的最大功績(jī)是撰寫了世界上第一本系統(tǒng)的微積分教程--------《用于理解曲線的無窮小分析》。這部著作出版于1696年，后來多次修訂再版，為在歐洲大陸，特別是在法國(guó)普及微積分起了重要作用。這本書追隨歐幾里得和阿基米

6、德古典范例，以定義和公理為出發(fā)點(diǎn)，同時(shí)得益于他的老師約翰.伯努利的著作，其經(jīng)過是這樣的：約翰.伯努利在1691-1692年間寫了兩篇關(guān)于微積分的短論，但未發(fā)表。不久以后，他答應(yīng)為年輕的洛必達(dá)講授微積分，定期領(lǐng)取薪金。作為答謝。他把自己的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)傳授給洛必達(dá)，并允許他隨時(shí)利用。于是洛必達(dá)根據(jù)約翰.伯努利的傳授和未發(fā)表的論著以及自己的學(xué)習(xí)心得，撰寫了該書。洛必達(dá)曾計(jì)劃出版一本關(guān)于積分學(xué)的書，但在得悉萊布尼茲也打算撰寫這樣一本書時(shí)，就放棄了自己的計(jì)劃。他還寫過一本關(guān)于圓錐曲線的書——《圓錐曲線分析論》。此書在他逝世之后16年才出版。洛必達(dá)豁達(dá)大度，氣宇不凡。由于他與當(dāng)時(shí)歐洲各國(guó)主

7、要數(shù)學(xué)家都有交往。從而成為全歐洲傳播微積分的著名人物。