等差數(shù)列及其前n項和

《等差數(shù)列及其前n項和》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。

1、為您服務(wù)教育網(wǎng)　http://www.wsbedu.com/等差數(shù)列及其前n項和基礎(chǔ)自測1.（2008·廣東理，2）記等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1=，S4=20，則S6等于()A.16B.24C.36D.48答案D2.設(shè){an}是等差數(shù)列，a1>0,a2007+a2008>0,a2007·a2008<0,則使Sn>0成立的最大自然數(shù)n是（）A.4013B.4014C.4015D.4016答案B3.（2008·全國Ⅰ理，5）已知等差數(shù)列{an}滿足a2+a4=4，a3+a5=10，則它的前10項的和S10等于（）A.138B.13

2、5C.95D.23答案C4.已知兩個等差數(shù)列{an}和{bn}的前n項和分別為An和Bn，且,則使得為整數(shù)的正整數(shù)n的個數(shù)是（）A.2B.3C.4D.5答案D5.數(shù)列a,b,m,n和x,n,y,m均成等差數(shù)列，則2b+y-2a+x的值為（）A.正實數(shù)B.負(fù)實數(shù)C.零D.不確定答案C例1已知數(shù)列{an}滿足a1=4,an=4-(n≥2),令bn=.求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列.證明∵an+1-2=2-=∴===+∴-=，∴bn+1-bn=.∴數(shù)列{bn}是等差數(shù)列.8為您服務(wù)教育網(wǎng)　http://www.wsbedu.c

3、om/例2在等差數(shù)列{an}中，（1）已知a15=33,a45=153,求a61;(2)已知a6=10,S5=5，求a8和S8；（3）已知前3項和為12，前3項積為48，且d＞0,求a1.解（1）方法一設(shè)首項為a1,公差為d,依條件得,解方程組得∴a61=-23+(61-1)×4=217.方法二由d=,得d===4,由an=am+(n-m)d,得a61=a45+16d=153+16×4=217.（2）∵a6=10,S5=5,∴.解方程組得a1=-5,d=3,∴a8=a6+2d=10+2×3=16,S8=8×=44.(3)設(shè)數(shù)列的前三項分別為a-d,a,a+d

4、,依題意有：,∴,∴.∵d＞0,∴d=2,a-d=2.∴首項為2.∴a1=2.例3（12分）在等差數(shù)列{an}中，已知a1=20,前n項和為Sn，且S10=S15，求當(dāng)n取何值時，Sn取得最大值，并求出它的最大值.解方法一∵a1=20，S10=S15，∴10×20+d=15×20+d，∴d=-.4分∴an=20+（n-1）×(-)=-n+.8分∴a13=0.即當(dāng)n≤12時，an＞0,n≥14時，an＜0.10分∴當(dāng)n=12或13時，Sn取得最大值，且最大值為S12=S13=12×20+(-)=130.12分方法二同方法一求得d=-.4分∴Sn=20n+·(-

5、)8為您服務(wù)教育網(wǎng)　http://www.wsbedu.com/=-n2+n=-+.8分∵n∈N+,∴當(dāng)n=12或13時，Sn有最大值，且最大值為S12=S13=130.12分方法三同方法一得d=-.4分又由S10=S15,得a11+a12+a13+a14+a15=0.8分∴5a13=0,即a13=0.10分∴當(dāng)n=12或13時，Sn有最大值，且最大值為S12=S13=130.12分1.設(shè)兩個數(shù)列{an},{bn}滿足bn=，若{bn}為等差數(shù)列，求證：{an}也為等差數(shù)列.證明由題意有a1+2a2+3a3+…+nan=bn，①從而有a1+2a2+3a3+…

6、+(n-1)an-1=bn-1(n≥2),②由①-②，得nan=bn-bn-1,整理得an=,其中d為{bn}的公差(n≥2).從而an+1-an=-==(n≥2).又a1=b1，a2=∴a2-a1=-b1==.綜上，an+1-an=d（n∈N*）.所以{an}是等差數(shù)列.2.（2009·成都市第一次調(diào)研）設(shè){an}為等差數(shù)列,Sn為數(shù)列{an}的前n項和,已知S7=7,S15=75,Tn為數(shù)列的前n項和,求Tn.解設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,則Sn=na1+n(n-1)d,8為您服務(wù)教育網(wǎng)　http://www.wsbedu.com/∵S7=7,S15=

7、75,∴,即,解得,∴=a1+(n-1)d=-2+(n-1),∵-=,∴數(shù)列是等差數(shù)列,其首項為-2,公差為,∴Tn=n2-n.3.等差數(shù)列{an}中，a1＜0,S9=S12,該數(shù)列前多少項的和最小？解由條件S9=S12可得9a1+d=12a1+d，即d=-a1.由a1＜0知d＞0,即數(shù)列{an}為遞增數(shù)列.方法一由，得,解得10≤n≤11.∴當(dāng)n為10或11時，Sn取最小值，∴該數(shù)列前10項或前11項的和最小.方法二∵S9=S12，∴a10+a11+a12=3a11=0，∴a11=0.又∵a1＜0,∴公差d＞0，從而前10項或前11項和最小.方法三∵S9=

8、S12，∴Sn的圖象所在拋物線的對稱軸為x==10.