3.2 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和

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1、要點(diǎn)梳理1.等差數(shù)列的定義如果一個(gè)數(shù)列，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的，通常用字母表示.2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式如果等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，那么它的通項(xiàng)公式是.§3.2等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與它相鄰前面一項(xiàng)的差是同一個(gè)常數(shù)公差dan=a1+（n-1）d基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)3.等差中項(xiàng)如果，那么A叫做a與b的等差中項(xiàng).4.等差數(shù)列的常用性質(zhì)（1）通項(xiàng)公式的推廣：an=am+，（n，m∈N*）.（2）若{an}為等差數(shù)列，且k+l=m+n，（k，l，m，n∈N*），則.（3）若{an}是等差

2、數(shù)列，公差為d，則{a2n}也是等差數(shù)列，公差為.（4）若{an}，{bn}是等差數(shù)列，則{pan+qbn}是.2dak+al=am+an(n-m)d等差數(shù)列（5）若{an}是等差數(shù)列，則ak，ak+m，ak+2m，…（k，m∈N*）是公差為的等差數(shù)列.5.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，其前n項(xiàng)和Sn=或Sn=.6.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系Sn=.數(shù)列{an}是等差數(shù)列的充要條件是其前n項(xiàng)和公式Sn=f（n）是n的，即Sn=.mdAn2+Bn（A2+B2≠0）二次函數(shù)或一次函數(shù)且不含常數(shù)項(xiàng)7.在等差

3、數(shù)列{an}中，a1＞0，d＜0，則Sn存在最值；若a1＜0,d＞0,則Sn存在最值.8.等差數(shù)列與等差數(shù)列各項(xiàng)的和有關(guān)的性質(zhì)（1）若{an}是等差數(shù)列，則也成數(shù)列，其首項(xiàng)與{an}首項(xiàng)相同，公差是{an}公差的.（2）Sm，S2m，S3m分別為{an}的前m項(xiàng)，前2m項(xiàng)，前3m項(xiàng)的和，Sm，S2m-Sm，S3m-S2m成數(shù)列.小等差等差大（3）關(guān)于等差數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)的性質(zhì)①若項(xiàng)數(shù)為2n，則S偶-S奇=，=.②若項(xiàng)數(shù)為2n-1，則S偶=（n-1）an，S奇=an，S奇-S偶=，(4)兩個(gè)等差數(shù)列{an}、{bn}的前n項(xiàng)和Sn

4、、Tn之間的關(guān)系為：=.ndnan基礎(chǔ)自測(cè)1.（2009·遼寧）{an}為等差數(shù)列，且a7-2a4=-1,a3=0,則公差d等于（）A.-2B.C.D.2解析根據(jù)題意得a7-2a4=a1+6d-2(a1+3d)=-1,∴a1=1.又∵a3=a1+2d=0,∴d=B2.已知數(shù)列{an}中,a1=1,則a10等于（?。〢.B.C.D.以上都不對(duì)解析由a1=1,得為等差數(shù)列.∴∴B3.（2009·福建）等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且S3=6,a3=4,則公差d等于（）A.1B.C.2D.3解析設(shè){an}首項(xiàng)為a1,公差為d,則S3

5、=3a1+d=3a1+3d=6,a3=a1+2d=4,∴a1=0,d=2.C4.已知等差數(shù)列{an}的前13項(xiàng)之和為39，則a6+a7+a8等于（）A.6B.9C.12D.18解析由S13==13a7=39得a7=3，∴a6+a7+a8=3a7=9.B5.設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若則等于（）A.1B.-1C.2D.解析由等差數(shù)列的性質(zhì)，A題型一等差數(shù)列的判定【例1】已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=pn2+qn(p、q∈R，且p、q為常數(shù)).（1）當(dāng)p和q滿足什么條件時(shí)，數(shù)列{an}是等差數(shù)列；（2）求證：對(duì)任意實(shí)數(shù)p和

6、q,數(shù)列{an+1-an}是等差數(shù)列.(1)由定義知,{an}為等差數(shù)列,an+1-an必為一個(gè)常數(shù).(2)只需推證(an+2-an+1)-(an+1-an)為一個(gè)常數(shù).思維啟迪題型分類(lèi)深度剖析(1)解an+1-an=［p(n+1)2+q(n+1)］-(pn2+qn)=2pn+p+q,要使{an}是等差數(shù)列,則2pn+p+q應(yīng)是一個(gè)與n無(wú)關(guān)的常數(shù),所以只有2p=0,即p=0,.故當(dāng)p=0,時(shí)，數(shù)列{an}是等差數(shù)列.(2)證明∵an+1-an=2pn+p+q,∴an+2-an+1=2p(n+1)+p+q,∴(an+2-an+1)-

7、(an+1-an)=2p為一個(gè)常數(shù).∴{an+1-an}是等差數(shù)列.探究提高證明或判斷一個(gè)數(shù)列為等差數(shù)列,通常有兩種方法:(1)定義法:an+1-an=d;(2)等差中項(xiàng)法:2an+1=an+an+2.就本例而言,第(2)問(wèn)中,需證明(an+2-an+1)-(an+1-an)是常數(shù),而不是證an+1-an為常數(shù).知能遷移1設(shè)兩個(gè)數(shù)列{an},{bn}滿足bn=若{bn}為等差數(shù)列，求證：{an}也為等差數(shù)列.證明由題意有a1+2a2+3a3+…+nan=①?gòu)亩衋1+2a2+3a3+…+（n-1）an-1=bn-1，（n≥2）　　

8、②由①-②，得nan=整理得an=其中d為{bn}的公差（n≥2）.從而an+1-an=（n≥2）.又a1=b1,a2=d+b1,∴a2-a1=d,所以{an}是等差數(shù)列.題型二等差數(shù)列的基本運(yùn)算【例2】在等差數(shù)列{an}中，（1）已知a15=33