應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)第2章

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1、第2章參數(shù)估計(jì)第2.1節(jié)點(diǎn)估計(jì)第2.2節(jié)估計(jì)量的優(yōu)良標(biāo)準(zhǔn)第2.3節(jié)區(qū)間估計(jì)東北大學(xué)數(shù)學(xué)系第2.1節(jié)點(diǎn)估計(jì)總體X的分布函數(shù)F含有未知的參數(shù)θ，θ所有可能的取值范圍稱(chēng)為“參數(shù)空間”，記為Θ。從這個(gè)總體中抽取了一組樣本X1，…，Xn，相應(yīng)的樣本觀(guān)察值是x1，…，xn。應(yīng)該如何估計(jì)出θ的具體數(shù)值？點(diǎn)估計(jì)就是利用樣本構(gòu)造一個(gè)合理的統(tǒng)計(jì)量：g(X1，…，Xn)；用它的觀(guān)察值g(x1，…，xn)去作為作為θ的估計(jì)值。例2.1.1政府或者企業(yè)希望了解人們的作息習(xí)慣。Gallup公司做過(guò)一項(xiàng)調(diào)查，56%的美國(guó)人說(shuō)他們習(xí)慣早起，44%的認(rèn)為自

2、己是“夜貓子”。例2.1.2丁同學(xué)在一個(gè)體重儀上稱(chēng)她的體重，假定這個(gè)體重儀沒(méi)有系統(tǒng)誤差，每次稱(chēng)量的結(jié)果是真實(shí)重量μ加上一個(gè)隨機(jī)誤差εk。一般認(rèn)為2εk~N(0,σ)，因此n次稱(chēng)量的結(jié)果Xk=μ+εk~N(μ,σ2)你可以用這組數(shù)據(jù)中的任何一個(gè)，或者樣本均值，或者是樣本中位數(shù)等，作為μ的估計(jì)值。常用的點(diǎn)估計(jì)方法矩估計(jì)：用樣本的有關(guān)矩去作為總體有關(guān)矩的估計(jì)。即樣本均值作為總體期望的估計(jì)；樣本方差作為總體方差的估計(jì)；樣本中位數(shù)(或眾數(shù))作為總體中位數(shù)(或眾數(shù))的估計(jì)等。極大似然估計(jì)：所有情況中“看起來(lái)最象”的那個(gè)估計(jì)2.1.1矩

3、估計(jì)K.Pearson的矩估計(jì)理論假定總體X有m個(gè)未知參數(shù)θ1，…，θm，而有關(guān)的原點(diǎn)矩V=EXk存在，則應(yīng)該有：kV=g(θ，…，θ)111mV=g(θ，…，θ)221m……V=g(θ，…，θ)mm1m理論上求解方程組可以得到θ1=h1(V1，…，Vm)θ2=h2(V1，…，Vm)……θm=hm(V1，…，Vm)n1k假如用樣本的k階原點(diǎn)矩Aki=∑Xni=1作為總體k階矩Vk的估計(jì)，則可以得到總體未知參數(shù)θ1，…，θm的估計(jì)。理論依據(jù)：大數(shù)律。矩估計(jì)基本上都是依概率或者幾乎處處收斂到未知參數(shù)。矩估計(jì)需要注意的幾個(gè)問(wèn)題(

4、1)總體的參數(shù)不能表示成矩的函數(shù)時(shí)(一般是總體矩不存在)，就不能使用矩估計(jì)；(2)如果能夠用低階的矩估計(jì)，就不要用高階矩；(3)按照矩估計(jì)的理論應(yīng)該用樣本的二階中心矩來(lái)估計(jì)總體的方差，但是在實(shí)際應(yīng)用中人們總是采用樣本方差作為總體方差的估計(jì)。矩估計(jì)的最大優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單實(shí)用，與總體分布形式?jīng)]有關(guān)系。只要知道總體隨機(jī)變量一些矩存在，就可以做相應(yīng)的矩估計(jì)。例2.1.3設(shè)總體X~U(0,θ)，θ是未知參數(shù)，X1，…，Xn是一組樣本，求θ的矩估計(jì)。解.總體的未知參數(shù)θ可以通過(guò)期望與方差表示：2總體期望：—θ；總體方差：—θ。212因此根據(jù)

5、矩估計(jì)的思想，可以得到兩個(gè)矩估計(jì)：或者是?23θ?=2Xθ=S習(xí)慣上我們采用第一個(gè)估計(jì)量□例2.1.4X1，…，Xn是來(lái)自總體X~N(μ,σ2)的一組簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，求2μ,σ的矩估計(jì)。解.顯然有：V1=μ，V2=σ2+μ2；即22μ=V1，σ=V2-V1。因此得到：n1μ?==X∑Xknk=1nn22112σ?=?∑∑XXkk()nnkk==11n12=?∑()XXknk=1□幾個(gè)常見(jiàn)分布的矩估計(jì)X二項(xiàng)分布B(N,p)，N已知p?=N均勻分布U(a,b)Xnn±?3(1)/S泊松分布Ρ(λ)λ?=X參數(shù)為θ的指數(shù)總體θ?=

6、1/X22n?1正態(tài)總體μ?=Xσ?=SnN(μ,σ2)?(1nn)/Sσ=?例2.1.5隨機(jī)取8個(gè)零件，測(cè)得直徑是(mm)74.001，74.005，74.003，74.001，74.000，73.993，74.006，74.002。設(shè)總體期望與方差存在，求它們的矩估計(jì)。解首先計(jì)算這組樣本的樣本均值和樣本方差，25?xs==74.001375,1.569610×根據(jù)矩估計(jì)的思想，雖然不知道這組樣本來(lái)自什么樣的總體，仍然可以給出總體期望和方差的矩估計(jì)：25?μ?=74.001375,σ?=×1.373410□兩個(gè)估計(jì)1.總

7、體百分比的估計(jì)采用樣本中的百分比作為估計(jì)值?？傮w分布被認(rèn)為是一個(gè)兩點(diǎn)分布，參數(shù)p或者說(shuō)總體期望p就是總體的百分比。因此如果希望了解總體中具有某種屬性的個(gè)體的比例，只需要從總體中抽取部分樣本，以樣本中具有這種屬性的比例ps作為估計(jì)。2.序列號(hào)估計(jì)二戰(zhàn)期間德國(guó)生產(chǎn)的每一輛坦克都帶有一個(gè)編號(hào)(工廠(chǎng)出廠(chǎng)號(hào))。盟軍方面根據(jù)擊毀或繳獲的德軍坦克的序列號(hào)：x1，…，xn，精確地估計(jì)出德國(guó)的坦克總產(chǎn)量N。解：方法一.假定每個(gè)得到的序列號(hào)x1，…，xn都是均勻地取自總體{1，2，…，N}，那么這組樣本數(shù)據(jù)居中的那一個(gè)數(shù)據(jù)(樣本中位數(shù))應(yīng)該非

8、常接近總體數(shù)據(jù)居中的那個(gè)數(shù)(N/2)；方法二.仍然假定樣本數(shù)據(jù)均勻取自總體數(shù)據(jù)，則它們之間應(yīng)該是等間隔地分布，因此總產(chǎn)量N就是樣本中最大的那一個(gè)(極大統(tǒng)計(jì)量)加上這些樣本的“平均間隔”。1N……xxx(1)(2)(n)這種估計(jì)：平均間隔x(n)-x(1)x(n)+————-1沒(méi)有系統(tǒng)誤差。n-1□2.1