應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)第4-5章new

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1、第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征和特征函數(shù)?數(shù)學(xué)期望?方差和矩?隨機(jī)向量的數(shù)字特征?隨機(jī)變量的特征函數(shù)?多元正態(tài)分布4.1數(shù)學(xué)期望?加權(quán)平均數(shù)?離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望?連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望?數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)4.1數(shù)學(xué)期望一?加權(quán)平均數(shù)例設(shè)某班40名學(xué)生的概率統(tǒng)計(jì)成績(jī)及得分人數(shù)如下表所示：分?jǐn)?shù)4060708090100人數(shù)1691572則學(xué)生的平均成績(jī)是總分÷總?cè)藬?shù)(分)。即(1)(40)?(6)(60)?(9)(70)?(15)(80)?(7)(90)?(2)(100)?76.5(分)1?6?9?15?7?2或1691572(40)?(60)?(70)?(80)?(90)?(1

2、00)?76.5(分)404040404040后一種計(jì)算方法可認(rèn)為是40,60,70,80,90和100這六個(gè)數(shù)的加權(quán)平均數(shù)。一般地說(shuō)，加權(quán)平均數(shù)可為nn?wixi,其中wi?0,??i?1.i?1i?1wi稱為數(shù)xi的權(quán)重,可見平均值即加權(quán)平均數(shù)。現(xiàn)引進(jìn)r.v.X表示學(xué)生得分，則X有分布律X4060708090100P1/406/409/4015/407/402/40于是平均成績(jī)?yōu)?0P{X=40}+60P{X=60}+70P{X=70}+80P{X=80}+90P{X=90}+100P{X=100}即取值乘取值的概率相加即得平均值。這就是r.v.的數(shù)學(xué)期望的概念二.離散

3、型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望1.定義?若X~P{X=xk}=pk,k=1,2,…,?xkpk絕對(duì)收斂，則k?1稱該和式為r.v.X的數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱期望或均值。記為E(X)或EX，即?E(X)??xkP{X?xk}.k?12.定理與推論定理1若X~P{X=xk}=pk,k=1,2,…,則Y=g(X)的期望?E(Y)?E[g(X)]??g(xk)pk.k?1推論若(X,Y)~P{X=xi,Y=yj,}=pij,i,j=1,2,…,則Z=g(X，Y)的期望??E(Z)?E[g(X,Y)]???g(xi,yj)pij.j?1i?1三.連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望1.離散化分析設(shè)X~f(x),?

4、?

5、,?xf(x)dx絕對(duì)收斂，則稱其為連續(xù)型??r.v.X的數(shù)學(xué)期望。即?E(X)??xf(x)dx.??3?定理與推論定理2若X~f(x),??

6、續(xù)型r.v.???四、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)1.E(aX+b)=aE(X)+b,a,b為常數(shù);2.E(X+Y)=E(X)+E(Y);3.若X與Y獨(dú)立，則E(XY)=E(X)E(Y).例1用Y表示伯努利試驗(yàn)中首次成功時(shí)失敗的次數(shù)，則Y~P{Y=k}=(1?p)kp,k=0,1,2,…,??kk?1E(Y)??k(1?p)p?(1?p)p?k(1?p)?(1?p)/p.k?0k?1?kE[Y(Y?1)]??k(k?1)(1?p)pk?0?2k?2?(1?p)p?k(k?1)(1?p)k?12222(1?p)?(1?p)p??;32[1?(1?p)]p2E(Y)?E[Y(Y?1)?Y]?

7、E[Y(Y?1)]?E(Y)22(1?p)1?p(1?p)(2?p)???.22ppp2?1/x,x?1,例2設(shè)X~f(x)???0,x?1,?2?E(X)??x(1/x)dx?lnx

8、1??,期望不存在。1例3設(shè)?x?1?e,0?x?1,??xX~f(x)??(e?1)e,x?1,則?0,其它?1?3?x?xE(X)??x(1?e)dx??x(e?1)edx?.0123E(2X?1)?2E(X)?1?2()?1?2.24.2方差和矩?方差的定義和性質(zhì)?矩的概念4.2方差一.定義與性質(zhì)方差是衡量隨機(jī)變量取值與其均值