應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)第1章

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1、河海大學(xué)研究生數(shù)學(xué)系列基礎(chǔ)課程CAI概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)講授:夏樂(lè)天本課程與其他數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課的關(guān)系?微積分（高等數(shù)學(xué)）?線性代數(shù)序言一.確定性數(shù)學(xué)初等數(shù)學(xué)、高等數(shù)學(xué)(微積分)、線性代數(shù)等二.隨機(jī)數(shù)學(xué)---以概率論為代表1.非確定性現(xiàn)象:彩票中獎(jiǎng)發(fā)大水陰天等2.生活中的隨機(jī)現(xiàn)象：拋硬幣擲骰子賭博出生性別等3.研究和揭示隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的科學(xué)---概率論三.理論聯(lián)系實(shí)際最活躍的學(xué)科1.應(yīng)用性:概率統(tǒng)計(jì)的理論一直在廣泛地應(yīng)用于工農(nóng)業(yè)、軍事、科技等領(lǐng)域2.滲透性:與基礎(chǔ)學(xué)科、工程學(xué)科結(jié)合可產(chǎn)生新的學(xué)科和研究方向。例如：信息論、系統(tǒng)論、控制論、排隊(duì)論、可靠性理論、可

2、靠度分析、平差分析、統(tǒng)計(jì)物理、水文統(tǒng)計(jì)、數(shù)量經(jīng)濟(jì)等四.概率論的內(nèi)容構(gòu)成本課程的內(nèi)容在數(shù)學(xué)上屬于概率論范疇，它由如下三個(gè)部分所組成基礎(chǔ)部分---概率論:古典概率隨機(jī)變量及其分布分布函數(shù)數(shù)字特征等應(yīng)用部分---數(shù)理統(tǒng)計(jì):統(tǒng)計(jì)量構(gòu)造參數(shù)估計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)回歸分析等深入部分---隨機(jī)過(guò)程:馬爾可夫過(guò)程平穩(wěn)過(guò)程隨機(jī)分析等本課程主要介紹應(yīng)用部分，但需要回顧基礎(chǔ)部分。概率論?第一章事件與概率?第二章隨機(jī)變量及其分布?第三章隨機(jī)向量及其分布?第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征何特征函數(shù)?第五章大數(shù)定律和中心極限定理第一章隨機(jī)事件和概率?隨機(jī)事件和樣本空間?概率及其性質(zhì)?條件概率、全概公

3、式和貝葉斯公式?事件的獨(dú)立性及貝努里概型1.1隨機(jī)事件和樣本空間一、隨機(jī)試驗(yàn)1.隨機(jī)試驗(yàn)(簡(jiǎn)稱“試驗(yàn)”)的例子隨機(jī)試驗(yàn)可表為EE1:拋一枚硬幣，分別用“H”和“T”表示出正面和反面;E2:拋兩枚硬幣，考慮可能出現(xiàn)的結(jié)果；E3:擲一顆骰子，考慮可能出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)i;E4:擲兩顆骰子，考慮可能出現(xiàn)的結(jié)果及點(diǎn)數(shù)之和；E5:記錄電話交換臺(tái)一分鐘內(nèi)接到的呼叫次數(shù)；E6:對(duì)一目標(biāo)進(jìn)行射擊，直到命中為止，考慮其結(jié)果;E7:在一批燈泡中任取一只，測(cè)其壽命。2.隨機(jī)試驗(yàn)的特征(1)可在相同條件下重復(fù)進(jìn)行;(2)試驗(yàn)結(jié)果不止一個(gè),但能確定所有的可能結(jié)果;(3)一次試驗(yàn)之前無(wú)法確

4、定具體是哪種結(jié)果出現(xiàn)。二、樣本空間1、樣本空間：所有試驗(yàn)結(jié)果組成的集合稱為樣本空間，記為?={?}；2、樣本點(diǎn):樣本空間的元素稱為樣本點(diǎn)，樣本點(diǎn)即試驗(yàn)結(jié)果，記為?.例如對(duì)應(yīng)E1的樣本空間為?={H，T}；對(duì)應(yīng)E2的樣本空間為?={(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)}；對(duì)應(yīng)E5的樣本空間為?={0,1,2,…}；三、隨機(jī)事件1.定義試驗(yàn)中可能出現(xiàn)或可能不出現(xiàn)的事情叫“隨機(jī)事件”,簡(jiǎn)稱“事件”.2.基本事件:不可能再分解的事件,即試驗(yàn)的結(jié)果，常記為“?”.3.兩個(gè)特殊事件:必然事件Ω、不可能事件?.任何事件均是某些樣本點(diǎn)組成的集合.例對(duì)于試驗(yàn)E2

5、與E5，以下A、B即為兩個(gè)隨機(jī)事件:A＝“至少出一個(gè)正面”＝{(H,H),(H,T),(T,H)}；B＝“至少m次少于n次”＝{m,m+1,…,n－1}。四、事件之間的關(guān)系1.包含關(guān)系:“A發(fā)生必導(dǎo)致B發(fā)生”記為A?BA＝B?A?B且B?A.2.和事件:A?B3.積事件:A?B＝AB4.差事件、對(duì)立事件(余事件)：A－B稱為A與B的差事件??B?B稱為B的對(duì)立事件;易知A?B?AB;5.互不相容性：AB＝?A、B互為對(duì)立事件?A?B＝?,且AB＝?6.可分性：對(duì)任意兩事件A、B，有A?AB?AB.一般的，有如下定義定義事件組A1，A2，…，An(n可為?

6、)，稱為樣本空間?的一個(gè)劃分(或完備事件組)，若滿足：n(i)?Ai??;i?1(ii)AA??,(i?j),i,j?1,2,?,n.ij五、事件的運(yùn)算1、交換律：A?B＝B?A，AB＝BA2、結(jié)合律：(A?B)?C＝A?(B?C)，(AB)C＝A(BC)3、分配律：(A?B)C＝(AC)?(BC)，(AB)?C＝(A?C)(B?C)4、對(duì)偶(DeMorgan)律：A?B?AB,AB?A?B可推廣?Ak??Ak,?Ak??Ak.kkkk1.2概率及其性質(zhì)一、頻率1.定義事件A在n次重復(fù)試驗(yàn)中出現(xiàn)n次，則比值A(chǔ)nA/n稱為事件A在n次重復(fù)試驗(yàn)中出現(xiàn)的頻率，

7、記為fn(A).即fn(A)＝nA/n.2.頻率的性質(zhì)(1)非負(fù)性：fn(A)≥0；(2)規(guī)范性：fn(?)＝1；(3)可加性：若AB＝?，則fn(A?B)＝fn(A)＋fn(B).實(shí)踐證明：當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n增大時(shí)，fn(A)逐漸趨向一個(gè)定值。二.概率歷史上曾有人做過(guò)試驗(yàn),試圖證明拋擲勻質(zhì)硬幣時(shí)，出現(xiàn)正反面的機(jī)會(huì)均等。實(shí)驗(yàn)者nnHfn(H)DeMorgan204810610.5181Buffon404020480.5069K.Pearson1200060190.5016K.Pearson24000120120.50051.定義若對(duì)隨機(jī)試驗(yàn)E所對(duì)應(yīng)的樣本空間?

8、中的每一事件A，均賦予一實(shí)數(shù)P(A)，集合函數(shù)P(A)滿足條件：(1)非負(fù)性：對(duì)