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《一類具有時滯的chemostat模型的穩(wěn)定性分析》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、第10卷第16期2010年6月科學(xué)技術(shù)與工程V01．10No．16June2O1O1671-1815(2010)16·3816-04ScienceTechnologyandEngineering@2010Sci．Tech．Engng．一類具有時滯的Chemostat模型的穩(wěn)定性分析孫明娟郝曉輝董慶來(延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，延安716000；唐山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系，唐山063000)摘要研究了一類具有時滯的、增長函數(shù)為Tissiet型的微生物連續(xù)培養(yǎng)模型，討論了解的存在性、有界性和平衡點的局部穩(wěn)定性，
2、利用Lyapunov—LaSaUe不變性原理證明了邊界平衡點的全局漸近穩(wěn)定性．關(guān)鍵詞Chemostat時滯穩(wěn)定性Lyapunov-LaSalle不變性原理中圖法分類號0175．21；文獻標志碼AChemostat(恒化器)是一個用來連續(xù)培養(yǎng)微生8So，S=S0Y，t=r／Q，m=g／Q，a=／S0，b=S0／ki，物的實驗裝置?，是簡化的湖泊模型，可用于模擬并且仍用t記，則系統(tǒng)(1)化為湖泊和海洋中單細胞藻類浮游生物的生長。文獻[2]研究了增長函數(shù)為Tissiet型的Chemostat動力j-c)=-_e一(
3、一
4、rJ一()2系統(tǒng)模型，詳細分析了解的漸近行為。然而，在微)=1e-by(t)X()生物連續(xù)培養(yǎng)過程中，微生物的增值與所消耗掉的考慮到生物意義，假設(shè)系統(tǒng)的初始條件為營養(yǎng)并不是瞬時完成的，即存在時間滯后現(xiàn)(t)=l(t)i>0，Y(t)=2(t)I>0，象H。大量的研究結(jié)果表明：在一些系統(tǒng)模型1+2≠0，t∈[一r，0](3)中，時滯可能會破壞系統(tǒng)平衡點的穩(wěn)定性產(chǎn)生周期式(3)中，(t)和：(t)是[一r,O]上的連續(xù)函數(shù)。振蕩；而在另外一些系統(tǒng)模型中，時滯對系統(tǒng)平衡點的穩(wěn)定性和系統(tǒng)的持久性卻是無害的。因此，在l解的
5、存在性、非負性和有界性模型中引入時滯是有必要的．本文將在文獻[2]的基礎(chǔ)上，進一步考慮具有時滯的Chemostat動力系統(tǒng)本節(jié)討論系統(tǒng)(2)滿足初始條件(3)的解的存模型：在性、非負性和有界性，有如下結(jié)論：『x(t)：e一QX()定理1系統(tǒng)(2)滿足初始條件(3)的解《?((t)，Y(t))在[o，+∞)上存在、非負、有界，且集=Q(S。一s(t))-e㈩合G={=(，2)∈CI1>10，0≤2≤1}關(guān)于系(1)統(tǒng)(2)是正向不變的。式(1)中s(f)和(t)分別表示在t時刻培養(yǎng)皿中營證明由泛函微分方程解的局部存
6、在性定理知_5j，對某個常數(shù)>0，(t)和Y(t)在[0，)上存養(yǎng)和微生物的濃度，S。為輸入的初始營養(yǎng)濃度，Q在。容易證明當(dāng)t∈(0，y)時，(t)≥0和Y(t)≥0表示流出率，表示營養(yǎng)的消耗率，，k，k為正常數(shù)，r≥0為時滯。對系統(tǒng)(1)無量綱化，令X=恒成立。下面證明()和Y(t)在[0，)上有界。事實上，由系統(tǒng)(2)和(t)，Y(t)在[一．r，)上的非2010年3月29日收到延安大學(xué)重點科研基金項目資助負性，對任意的t∈[0，)，有第一作者簡介：孫明娟(1981一)，山東煙臺人，助教，碩士研究生，f(t)
7、≤，礎(chǔ)(t一)一()f4)研究方向：金融數(shù)學(xué)與生物數(shù)學(xué)。I(t)≤1一y(￡)16期孫明娟，等：一類具有時滯的Chemostat模型的穩(wěn)定性分析3817由于時滯線性系統(tǒng)線性近似系統(tǒng)的零解是穩(wěn)定的；rz；(t)=mu(t—r)一u(t)r5、(4)女口果m>1，，ne一<口+1，me一(1一b)<1，I(t)：l一(￡)一6+aby。一口>0，即系統(tǒng)(2)存在兩個正平衡點滿足初始條件u(t)=‘P(t)，(t)=‘P2(t)(一下≤t≤0，E+和E控+，則對任意的時滯>t0，E+是局部qo。，‘P如同式(3))的解
8、(u(t)，(t))在[0，+∞)上存漸近穩(wěn)定的，E+是不穩(wěn)定的。在且唯一。因此由泛函微分方程解的比較原理證明考慮系統(tǒng)的平衡點Ei+=(，y)(i=1，知，對任意的tE[0，)，有(t)≤M(t)，y(t)≤(t)。2l，22，3)．做變換=—，Y=y—Y，則系統(tǒng)(2)因此，((f)，y(t))必在[0，y)上有界。由泛函微分方在E，處對應(yīng)的線性化系統(tǒng)為程解的延拓定理[可知，(x(t)，y(t))在[0，+∞)上』(t)=一()+(￡一)+l，(f一．r)(6)存在，并且進一步可證是非負的。由系統(tǒng)(2)的第2個【
9、(t)=一AX(t)一(1+B)l，(t)方程，顯然有l(wèi)imsup(t)≤1。進一步還可以證明對式(6)中r(x，)=mxye—by／(口+Y)，任意的t1>O，Y(t)≤1。事實上，如果存在t>0使得A=(，y)=mye一竹／(n+Y)，y(t)>1，則由拉格朗日中值定理知，存在t∈(0，t，)，日=F(，Y)=(一6)，一aby+口)×y(t：)>l使得)，(t：)>
