一類具阻尼的二階奇異微分方程周期解的存在性

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1、AdvancesinAppliedMathematics應(yīng)用數(shù)學(xué)進(jìn)展,2017,6(3),348-356PublishedOnlineMay2017inHans.http://www.hanspub.org/journal/aamhttps://doi.org/10.12677/aam.2017.63040ExistenceofPeriodicSolutionsofaSecond-OrderSingularDampedDifferentialEquationYanhuaWang,ShengjunLi*CollegeofInformationSciencean

2、dTechnology,HainanUniversity,HaikouHainanthththReceived:May7,2017;accepted:May24,2017;published:May27,2017AbstractSingulardifferentialequationshaveimportantapplicationsinastronomy,physics,biologyandmanyotherappliedsciences.Inthispaper,byusingvariationalmethods,weprovetheexistenceof

3、atleastanon-trivialperiodicsolutionforthesecond-ordersingulardampeddifferentialequation1utqtut′′()+()′()?=gt().γut()KeywordsVariationalMethods,SingularDifferentialEquations,PeriodicSolutions,Existence一類具阻尼的二階奇異微分方程周期解的存在性*王燕華，李勝軍海南大學(xué)，信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院，海南海口收稿日期：2017年5月7日；錄用日期：2017年5月24日；發(fā)布日期

4、：2017年5月27日摘要奇異微分方程在天文學(xué)、物理學(xué)、生物學(xué)等學(xué)科中有著廣泛的應(yīng)用，本文應(yīng)用變分方法，證明了二階阻*通訊作者。文章引用:王燕華,李勝軍.一類具阻尼的二階奇異微分方程周期解的存在性[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)進(jìn)展,2017,6(3):348-356.https://doi.org/10.12677/aam.2017.63040王燕華，李勝軍1尼奇異微分方程utqtut′′()+()′()?=gt()至少有一個非平凡周期解的存在性結(jié)果。γut()關(guān)鍵詞變分方法，奇異微分方程，周期解，存在性Copyright?2017byauthorsandHansPubl

5、ishersInc.ThisworkislicensedundertheCreativeCommonsAttributionInternationalLicense(CCBY).http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/OpenAccess1.引言及主要結(jié)果變分學(xué)是研究泛函極值(以及更一般的臨界值)的一個數(shù)學(xué)分支；變分問題內(nèi)容非常豐富，從經(jīng)典力學(xué)到規(guī)范場論，物質(zhì)運(yùn)動的規(guī)律都遵從變分原理。臨界點(diǎn)理論是近幾十年來變分學(xué)發(fā)展最快的分支，同時也有許多應(yīng)用，特別是在微分方程解的存在性的證明中它是直接方法的一個重要補(bǔ)充[1]-

6、[6]。本文應(yīng)用“山路引理”研究奇異阻尼微分方程1utqtut′′()+()′()?=gt()(1)γut()T1T-周期解的存在性，其中qgC,∈>(?/,,1T??)γ，∫qtt()d0=，顯然非線性項(xiàng)?γ在原點(diǎn)具有排0ut()1斥奇異性，即lim?=?∞。最近，方程(1)周期解的存在性也受到少數(shù)幾個專家學(xué)者的關(guān)注。+γu→0ut()在文獻(xiàn)[7]中，應(yīng)用度的同倫不變性，對同倫方程的解進(jìn)行先驗(yàn)估計(jì)，然后利用經(jīng)典的重合度理論，得到方程至少有一個正周期解；在文獻(xiàn)[8]和[9]中，通過考慮其Green函數(shù)的正性，分別應(yīng)用Leray-SchauderT二擇一原理和

7、Schauder不動點(diǎn)定理，研究了其周期解的存在性。一般情況下，當(dāng)∫qtt()d0>，對于方0T程(1)很難應(yīng)用變分法。本文，我們考慮∫qtt()d0=的情形，通過合理的假設(shè)，在適當(dāng)?shù)腟obolev空間0上建立方程(1)的相應(yīng)的變分結(jié)構(gòu)，利用“山路引理”，證明方程(1)至少有一個非平凡的T-周期解。定理1.假定條件T(H1)qgC,∈>(??/,1T)γ，且∫qtt()d0=；0u1(H2)lim+Fu()=+∞，其中Fu()=∫1γds；u→0us()????1(H3)Ms:sup=??:0<<+∞是有界的；γ????us()T(H4)lim(Fu()?g

8、u)=+∞，其中g(shù)定義為g:d=∫gtt()。u→+