分類討論，謹防漏解

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1、分類討論，防止漏解作者：朱紹平單位：永安中學(xué)二○○五年十一月5分類討論，防止漏解分類討論求解是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，學(xué)生在解答有關(guān)題目時，常因思考不周，造成漏解、以偏概全的錯誤?，F(xiàn)舉出幾例進行剖析。一、按零點分類例1．化簡︱x-1︱+︱x-3︱。錯解：原式＝x-1+x-3=2x-4。剖析：解含多個絕對值符號的題最常用也是最一般的方法是用零點分段法進行分類討論，即令各絕對值代數(shù)式為零，得若干個絕對值為零的點，這些點把數(shù)軸分成幾個區(qū)間，再在各區(qū)間內(nèi)化簡即可。上面解法只是其中一種情況。正解：令x-1=0或x-3＝0，得零點x＝1或x＝

2、3共兩點，將數(shù)軸分成3個部分，即x≤1，1＜x≤3，x＞3，討論得4-2x，（x≤1））原式=2，（1＜x≤32x-4。（x＞3）二、按性質(zhì)分類例2．解方程（x+1）2＝（2x-1）2。錯解：兩邊開平方，得x+1＝2x-1，解之得x＝2。5剖析：由平方根的意義可知，兩個數(shù)的平方相等，這兩個數(shù)可能相等，也可能互為相反數(shù)，應(yīng)分兩種情況討論，錯解只得到了這兩數(shù)相等，就漏掉了一種情況，于是漏掉了一個解。這里，一般的做法是通過先移項，再運用因式分解法求解，便無需討論就能得出答案x1＝2，x2＝0。切記在解方程時一般不要施行兩邊開平方運算。例

3、3．若5a+1和a-19是數(shù)m的平方根，求m的值。錯解：因5a+1和a-19都是m的平方根，則它們互為相反數(shù)，即5a+1+a-19＝0，a=3，所以5a+1＝16，a-19=-16，因此m=（±16）2＝256。剖析：錯解只注意5a+1和a-19互為相反數(shù)，而忘記了它們還可能相等，因此本題需分兩種情況來討論。正解：①當5a+1與a-19互為相反數(shù)時，解法同上，m＝256；②當5a+1=a-19時，a=-5，則5a+1＝-24，故m＝（-24）2＝576。綜合①②可知，m＝256或576。三、按存在性分類例4．若一個直角三角形的兩邊

4、長分別是5cm和12cm，那么這個三角形的周長是多少？錯解：在△ABC中，∠C＝90°，AC=12cm，BC＝5cm，則由勾股定理得AB＝，所以C△ABC＝AB+BC+AC＝13+5+12＝30（cm）。剖析：題中只交待了直角三角形的兩邊，并沒有說明是兩條直角邊，它也可以是一條直角邊和一條斜邊，因此應(yīng)分兩種情況分類求解：①當5cm和12cm為兩直角邊時，解法同上；②當12cm為斜邊時，另一直角邊為，此時C△ABC＝17+（cm）。5因此△ABC的周長為30cm或17+cm。例5．在△ABC中，AB＝5，BC＝13，AD是BC邊上的

5、高，AD=4，求CD和sinC。錯解：CD=10，sinC=。剖析：題目中沒有畫圖，作題時應(yīng)首先畫出符合條件的所有情況的圖形，然后據(jù)圖解題。本例符合條件的圖形存在兩種，一種是∠B為銳角，一種是∠B為鈍角，錯解中只作了∠B為銳角一種，遺漏了∠B為鈍角的情況?！螧為鈍角時，CD＝16，sinC＝。例6．若一個三角形的三邊長均滿足方程x2-6x+8＝0，則此三角形的周長是多少？錯解：解方程x2-6x+8＝0得x1＝2，x2＝4，所以三角形的周長為C1=4+4+2=10，C2＝2+2+4＝8。剖析：當求出方程的解x1＝2，x2＝4之后，再

6、求三角形周長時，應(yīng)該分四種情況進行討論。錯解沒有考慮長為2，2，4的三條線段不能構(gòu)成三角形，幾何教學(xué)中，當我們作有關(guān)三角形的計算時，其實都暗含著一個潛在假設(shè)，就是三角形的存在性，即是說三角形存在條件是解決有關(guān)三角形計算問題的前提條件，錯解就忽視了這個條件，致使出現(xiàn)錯誤，同時錯解還遺漏了兩種等邊三角形的情況。正解：解方程x2-6x+8＝0得x1＝2，x2＝4，分四種情況討論如下：①當三邊長為4，4，2時，C＝4+4+2＝10；②當三邊長為2，2，4時，因為2+2≯4，所以不能構(gòu)成三角形；5③當三邊長為2，2，2時，C＝2+2+2＝6

7、；④當三邊長為4，4，4時，C＝4+4+4=12。綜上所述，滿足題目條件的三角形的周長為6或10或12。四、按條件分類例7．如果3x-4y=0，則=錯解：由3x-4y=0，得3x=4y，所以=。剖析：原題沒有給出y的取值范圍，而當y=0時，無意義，所以應(yīng)分情況討論求解。正解：分兩種情況：①當y≠0時，由3x-4y=0得3x=4y，所以=；②當y=0時，無意義。例8．已知，求k的值。錯解：由等比性質(zhì)，得k=。剖析：初看這個題目，大部分學(xué)生馬上就想到了運用等比性質(zhì)去解，于是得到k=2，以為大功告成，殊不知忽視了等比性質(zhì)成立的條件，因此

8、解題時應(yīng)分類討論。正解：分兩種情況：①當a+b+c≠0時，由，得；②當a+b+c=0時，由于a+b=-c，所以。綜合①②，所以k=2或-1。5例9．解關(guān)于x的不等式2(x-1)＞mx。錯解：移項，合并，得(2-m)x＞2。系數(shù)化為1，得x>。剖析：