1.2希爾伯特公理體系

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1、《初等幾何研究》內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院主講教師：王亞雄TEL：13458870691EM：85072886@qq.com§1.2希爾伯特公理體系在歷代數(shù)學(xué)家所積累的極其豐富的公理資料基礎(chǔ)上，德國數(shù)學(xué)家希爾伯特(Hilbert，公元1862~1943)完成了幾何學(xué)的基礎(chǔ)構(gòu)造工作．他于1899年出版名著《幾何基礎(chǔ)》，建立了幾何學(xué)完善的公理體系——“希爾伯特公理體系”希爾伯特的公理體系建立在基本概念和公理的基礎(chǔ)上，基本概念由兩部分組成：一部分是幾何學(xué)研究對象(也稱基本元素),如點、線、面等；另一部分是元素

2、間的基本關(guān)系，如結(jié)合關(guān)系、合同關(guān)系等．公理共有5組20條．希爾伯特公理體系滿足他自己提出的三個基本要求，即相容性（公理間互不矛盾）、獨立性（每條公理都不能從其余的公理推出）、完備性（公理體系所有模型都是互相同構(gòu)的）．基本元素：點，線，面?；娟P(guān)系：結(jié)合關(guān)系（如點在直線上，直線在面上等），順序關(guān)系（如一點在兩點之間，一射線在兩射線之間等），合同關(guān)系（如兩線段合同，兩角合同等）基本公理：Ⅰ、結(jié)合公理8條幾何基本元素“點”、“直線”、“平面”之間的結(jié)合關(guān)系就是：“點在直線上”可以說成“直線通過點或直線含有點或點屬

3、于直線”；點和平面也有這種關(guān)系，結(jié)合公理要求滿足8條公理：（1）通過不同兩點必有一條直線．（2）通過不同兩點的直線至多有一條．（3）每一條直線上至少有兩點；至少有三點不在同一條直線上．（4）通過不共線的三點必有一個平面；每一個平面上至少有一點．（5）至多有一個平面通過不共線的三點．（6）若一直線有不同兩點在某個平面上，則該直線上所有點都在這平面上．（7）若兩個平面有一個公共點，則至少還有一個公共點．（8）至少有四個點不同在一個平面上．Ⅱ、順序公理4條直線上的點與點之間有一種“介于”關(guān)系，通常用“介于……之間

4、”的語言來表示．“介于”關(guān)系表示點與點之間的“順序關(guān)系”，它們必須滿足4條順序公理．（1）若點B介于兩點A、C之間，則A、B、C是同一直線上的三個不同點，并且B也介于C和A之間．（2）對于任意不同的兩點A和B，直線AB上至少有一點C存在，使得B介于A和C之間．（3）在共直線的不同三點中，至多有一點介于其余兩點之間．（4）巴士公理．設(shè)A、B、C是不在同一直線上的三個點，a是平面ABC上的一條直線，它不通過A、B、C中的任一點．若a有一點介于A和B之間，則a必須還有一點介于B和C之間或A和C之間．Ⅲ、合同公理5

5、條根據(jù)“介于……之間”的關(guān)系和順序公理，可以定義“線段”、“射線”、“角”等概念，線段與線段之間具有一種關(guān)系，這種關(guān)系用詞語“合同”或“相等”來表示．合同關(guān)系必須滿足5條公理：（1）若A、B是直線a上兩點，是該直線或另一直線上一點，則在直線上點的任意任意指定的一側(cè)，總存在一個而且只有一個點，使得線段合同于（或等于）線段．（2）若線段合同于，合同于，則合同于．即若,,則．（3）若點介于和之間，介于和之間，且，,則．（4）設(shè)平面上給定由點發(fā)出的射線、所成的角，在平面上給定直線并指定其一側(cè)，設(shè)是上從點發(fā)出的射線，

6、則上指定的一側(cè)存在由發(fā)出的唯一射線,使得，又．（5）設(shè)、、是不在同一直線上的三點，、、也不在同一直線上．若直線，，且，則,．Ⅳ、連續(xù)公理2條（1）阿基米德公理．設(shè)和是任意兩條線段，，則在直線上必定存在著有限個點使得介于和之間，介于和之間，……，線段之間有合同關(guān)系，并且使得點介于點和之間．亦即存在自然數(shù)，使得．（2）康托爾公理．設(shè)在任意直線上給了線段的無窮序列，其中每一個后面的線段連同端點完全落在前一個線段的內(nèi)部，并設(shè)對于任何預(yù)先給定的無論多么短的線段，總可以找到一個自然數(shù)，使得．則在直線上存在著一點，落在所

7、有線段的內(nèi)部．Ⅴ、平行公理1條同一平面上沒有公共點的兩條直線叫做平行線，或稱該兩條直線互相平行．平行公理：設(shè)是任意一條直線，是外的任意一點，那么在和所決定的平面上，至多只有一條直線通過且與平行．這條公里是英國數(shù)學(xué)家普雷菲爾(Playfair)首先用來代替歐幾里得第5公設(shè)的，因而又稱普雷菲爾公理，它與歐幾里得第5公設(shè)等價，但形式上較為簡單．前四組公理Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ及其推論組成的幾何學(xué)稱為絕對幾何學(xué)，由絕對幾何學(xué)加上歐氏平行公理展開的幾何學(xué)稱為歐氏幾何學(xué)，由絕對幾何學(xué)加上羅巴切夫斯基平行公理展開的幾何學(xué)稱為羅氏

8、幾何學(xué)。希爾伯特公理體系分類圖作業(yè)：1.簡述《幾何基礎(chǔ)》在數(shù)學(xué)發(fā)展史中的作用及意義。2.寫出希爾伯特公理體系的分類圖。