用集合論深談加減消去消去消去消去法與加減不消

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1、用集合論深談『加減消去法』與『加減不消去法』的真正含意與應(yīng)用第一頁定義:方程式f(x,y)=0的解集合為A,,方程式g(x,y)=0的解集合為Bfxy(,)0=?則聯(lián)立方程式?的解集合為A∩B?gxy(,)0=超級(jí)大定理:方程式f(x,y)=0的解集合為A,方程式g(x,y)=0的解集合為B且d(x,y,),d(x,y)12為任意代數(shù)式且d(x,y)f(x,y)+d(x,y)g(x,y)=0的解集合為C12則必A∩B?C亦即方程式d(x,y)f(x,y)+d(x,y)g(x,y)=0恒過兩圖形f(x,y)=0與g(x,y)=012之所有交

2、點(diǎn)pf:?P(α,β)∈A∩B?P(α,β)∈A且P(α,β)∈B?f(α,β)=0且g(α,β)=0?d(α,β)f(α,β)+d(α,β)g(α,β)=0成立12P(,)αβ代入d(x,y)f(x,y)+d(x,y)g(x,y)=0成立12?P(,)αβ∈C所以A∩B?C單單單元單元元元一一一一：『加減消去法』3x?2y=5?例題一：解聯(lián)立方程式??2xy+=4說明：方程式3x?2y=5的解集合為A,方程式2x+y=4的解集合為B且1(3x?2y?5)+2(2x+?y4)=0的解集合為C且A∩B?C137x?13=?0x=為一條鉛直線

3、且其解集合為C且A∩B?C73x?2y=5又?只有一個(gè)交點(diǎn),其坐標(biāo)為(,xy)=(,)132?A∩C={(,)}132?13007777x=?7132由A∩B?C且A∩B?A?A∩B?A∩C={(,)}77132則必A∩B=φ或{(,)}77由(,)132∈A且(,)132∈B則必(,)132∈∩AB則必A∩B={(,)}132777777772?yx=例題二：解聯(lián)立方程式?22NOTE：(,xy00)為交點(diǎn)坐標(biāo)則必xy0,0∈R(x?3)+y=5?22說明：方程式y(tǒng)=x的解集合為A={(,xy)

4、xy,∈Ry,,=x}000000222

5、2方程式(x?3)+y=5的解集合為B={(,xy)

6、xy,∈R,,(x?3)+y=5}0000002?yx=聯(lián)立方程式?的解集合即為A∩B22(x?3)+y=5?222222422方程式y(tǒng)=(x)的解集合為A′且A?A′因?yàn)閥=(x)=x包含y=x與y=?x2242且1[(x?3)+y?5]+1(x?y)=0的解集合為C且A∩B?A′∩B?C2224222則必(x?3)+()x?5=0?x+x?6x+=?40(x?1)(x+2x+4)=022?(x?1)[(x+1)+3]0=則必x=1為一條鉛直線且其解集合為C={(,xy)

7、xy,∈R

8、x,,=1}且A∩B?C000002?yx=又?只有一個(gè)交點(diǎn),其坐標(biāo)為(,xy00)=(1,1)?A∩C={(1,1)}x=1?由A∩B?C且A∩B?A?A∩B?A∩C={(1,1)}則必A∩B=φ或{(1,1)}由(1,1)∈A且(1,1)∈B則必(1,1)∈∩AB?A∩B={(1,1)}用集合論深談『加減消去法』與『加減不消去法』的真正含意與應(yīng)用第二頁22?x+4y=4例題三：解聯(lián)立方程式?22x+(y?6)=1?2222解：x+4y=4....的解(點(diǎn))集合設(shè)為T,,x+(y?6)=1....的解(點(diǎn))集合設(shè)為T本題即求T∩T121

9、22222由x+4y=4則必x≥??044y≥??≤01y≤122222由x+4y=4則必y≥?04y≥??04x≥??≤02x≤2設(shè)滿足?≤2x≤2,,1?≤y≤1的解(點(diǎn))集合為T(圖形為長(zhǎng)方形區(qū)域)且T?T3132222由1(x+4y?4)+?1(x+(y?6)?1)=0恒過TT,所有交點(diǎn)1222?3y+12y?39=0?y+4y?13=0?y=?±217?y=?+217或y=??217設(shè)y=?+217的點(diǎn)集合為L(zhǎng)且y=??217的點(diǎn)集合為L(zhǎng)12則必(T∩T)?(L∪L)1212明顯(L∪L)∩T=φ123再由(T∩T)?T?T及(

10、T∩T)?(L∪L)1213121222?x+4y=4則必(T1∩T2)?T3∩(L1∪L2)=φ?T1∩T2=φ即聯(lián)立不等式?22無解x+(y?6)=1?22?x+4y=4例題四：解聯(lián)立方程式?22x+(y?6)=25?22解：x+4y=4...............的解(點(diǎn))集合為T122x+(y?6)=25......的解(點(diǎn))集合為T本題即求T∩T2122222由1(x+4y?4)+?1(x+(y?6)?25)=022?3y+12y?15=0?y+4y?=50?y=?5或y=1恒過TT,所有交點(diǎn)12設(shè)y=?5的點(diǎn)集合為L(zhǎng)且y=1

11、的點(diǎn)集合為L(zhǎng)12則必(T∩T)?(L∪L)且T∩T?T1212121可推得(T∩T)?[(L∪L)∩T]=(L∩T)∪(L∩T)={(0,1)}∪=φ{(diào)(0,1)}121211121則必(T∩