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《萬爾遐老師講數(shù)學——消去法與消去式.ppt》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、消去法與消去式例話解析幾何運算的化簡萬爾遐老師講數(shù)學1天津市二月測試第18（Ⅱ）題題：設橢圓M：，P是橢圓M上的任意一點，EF為圓N：x2+(y–2)2=1的任意一條直徑（E、F為直徑的兩個端點）,求的最大值.說1：又是橢圓又是圓，還有向量積求最值.面對大題，要有“漸勝”心理：吞不下要撕幾塊，撕不動要啃幾口，如本題，要“求出最大值”雖然不易，但用三點的坐標表示這個“向量積”實在不難.2解答從設點的坐標可開始解析：如圖，設F(x1,y1),E(x2,y2),P(x,y)；說2：就此一“設”、一“則”，2分已經(jīng)到手，本題的9分就啃去了約四分之一.以下求最大值，而式子中有6個
2、變量，最好消除到只剩一個變量，化為一元函數(shù)求最大值.則3續(xù)解：又x2=–x1，y2=4–y1，說3：因為點E與點F關于點（0,2）對稱，點F的坐標可用點E的坐標來表示。消去法可從消x2、y2開始消去了x2和y2.至此再得2分，9分題目已啃去了約一半.式中還有4個變量，還得消除3個.4說4：又消去3個變量之后，式子化為一元函數(shù)，至此，已取得決定性的成果，所求的最值，已經(jīng)歷歷在望.續(xù)解：……x1、x、y1的消去5二次函數(shù)求最值說5：二次函數(shù)求最值，是初中生都會的事情.高中生在這里要做的事，是要指出存在的條件：點P在已知橢圓上.至此，本題滿分到手。續(xù)解：……所求的最大值是11
3、.條件是y=–1.點P的坐標為(–1).6探究一消去法與消去式之后，任務轉向到“消參”，6個參量x1,x2,x;y1,y2，y全部消去之時，就是答案——數(shù)量積得到最值之時.把向量的數(shù)列積表示成點的坐標式這個方法叫做“消參法”，它是“設參法”的逆向方法.如何消去呢，“消去法”必須靠“消去式”來操作.以下是這些參數(shù)消去時所用到的消去式：7（1）消去x2，y2時，用的是中點公式：（2）消去x1，y2時，用的是圓的方程式：（3）消去x2時，用的橢圓的方程式：以上5個參數(shù)的消去，消去式全為等式.（4）最后消y，消去式用的是不等式：(y+1)2≥0.注意，只有用不等式消參y，才能得
4、到的最值.消去式列舉8消去法不只一種另解：對則注意：中點公式、橢圓與圓的參數(shù)方程，全部用作了消去式！9消去三角函數(shù)用三角恒等式則10用三角函數(shù)最值求向量積最值則三角消去式回顧：等式有sin2δ+cos2δ=1,sin2α+cos2α=1,不等式有11探究二點對圓的冪已知：定圓G：(x–a)2+(y–b)2=r2和定點O(0，0).EF是定圓任意一條直徑的兩個端點.當消去法進行到時，人們發(fā)現(xiàn)：這個數(shù)量積與E、F的具體位置無關，只要它是已知圓的任意一條動直徑的兩個端點就行.也就是說：當P點固定的時候，是個定值.不失一般性，我們用下面的命題說明這個事實.求證：（1）是個定值.
5、（2）這個定值就是這個定點對這個定圓的冪.12從數(shù)量積的定義開始證明（1）：如圖，記d2=OG2=a2+b2,設夾角為θ，則13余弦定理化簡數(shù)量積代（2）式于式（1），化簡得當定點和定圓確定后，d和r都是定值.由此證得是定值.設∠OGE=α，則∠OGF=π–α，于是有OE2=d2+r2–2dr，OF2=d2+r2+2dr（2）14定點對定圓的冪證明（2）：設割線OG交定圓于A、B.由于AB也是定圓的直徑，故有另一方面，又OA·OB是定點O對定圓的冪，所以這個定值也就是定點對定圓的冪.15向量積中的圓冪定理過定點O作定圓的任意一條割線OCD(沒有畫出).則有結論：這就是向
6、量積中的圓冪定理.點O在圓外時，點O在圓上時，點O在圓內(nèi)時，16點對點的冪過定點O作定圓的任意一條割線OCD.則有：固定圓心不變，讓圓的半徑r變小，則定點O對定心圓的冪變小.r=0時，點E、F重合，定心圓退化為點圓，此時，點對圓的冪退化為點對點的冪.顯然，點對點的冪就是兩點間距離的平方.17第18（Ⅱ）題的題根題：設橢圓M：，P是橢圓M上的任意一點，EF為圓N：x2+(y–2)2=1的任意一條直徑（E、F為直徑的兩個端點）,求的最大值.在定圓半徑確定的前提下，最大值由d決定。由此發(fā)現(xiàn)問題之根：題根：P是橢圓M：上的動點，G(0,2)為定點,求PG長度的最大值.自然，定點
7、G(0,2)移動后,PG長度的最大值也將隨著變化.18第18（Ⅱ）題的推廣題：設橢圓M：，P是橢圓M上的任意一點，EF為圓N：x2+(y–2)2=1的任意一條直徑（E、F為直徑的兩個端點）,求的最大值.…………19
