同濟(jì)大學(xué)微積分第三版)8-2偏導(dǎo)數(shù)

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1、一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算法或或存在存在偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù)如在處解由偏導(dǎo)數(shù)的定義可知，求z=f(x,y)并不需要新的方法，只在應(yīng)用一元函數(shù)求導(dǎo)法就可以了：求時(shí)，把y看成是常數(shù)而對(duì)x求導(dǎo)；求時(shí)，把x看成是常數(shù)而對(duì)y求導(dǎo)；證原結(jié)論成立．例4求的偏導(dǎo)數(shù)。解練習(xí)：1.（1）（3）（5）解不存在．證結(jié)果不是1，說明偏導(dǎo)不能看成微商，但導(dǎo)數(shù)能看成微商。有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的幾點(diǎn)說明：１、２、求分界點(diǎn)、不連續(xù)點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)要用定義求；解偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義如圖幾何意義:練習(xí)：5.例5解按定義可知：偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系但函數(shù)在該點(diǎn)處并不連續(xù).偏導(dǎo)數(shù)存在連續(xù).一元函數(shù)中在某點(diǎn)可導(dǎo)連續(xù)，多元函數(shù)中在

2、某點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在連續(xù)，純偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)定義：二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù).二、高階偏導(dǎo)數(shù)解原函數(shù)圖形偏導(dǎo)函數(shù)圖形偏導(dǎo)函數(shù)圖形二階混合偏導(dǎo)函數(shù)圖形觀察上例中原函數(shù)、偏導(dǎo)函數(shù)與二階混合偏導(dǎo)函數(shù)圖象間的關(guān)系：練習(xí)：6.（1）（3）解問題：混合偏導(dǎo)數(shù)都相等嗎？例8解按定義可知：?jiǎn)栴}：具備怎樣的條件才能使混合偏導(dǎo)數(shù)相等？證畢．解證：例8設(shè),證明：函數(shù)滿足方程所以和都叫拉普拉斯方程，在研究熱傳導(dǎo)、流體運(yùn)動(dòng)等問題中有著重要的應(yīng)用。練習(xí)：8.偏導(dǎo)數(shù)的定義偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義高階偏導(dǎo)數(shù)（偏增量比的極限）純偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)（相等的條件）三、小結(jié)思考題思考題解答不能.例如,練習(xí)題練習(xí)題答案