求二次函數(shù)的最值

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1、課題：求二次函數(shù)的最值教學目的：使學生掌握求二次函數(shù)的最值的方法。重點難點：求一個二次函數(shù)關系式中含有參數(shù)且自變量又有限制條件的最值問題。教學過程：一、課題引入一元二次函數(shù)是初中學過的內容，但它在高中學習中起到非常重要的作用，貫穿高中全部學習過程，同時也是高考重點考查內容，二次函數(shù)的應用很廣，主要有不等式和方程的應用，利用二次函數(shù)的圖象來解一元二次不等式和討論一元二次方程的實根分布情況，及求二次函數(shù)的最值。二、講解課題今天我們主要學習二次函數(shù)求最值方面的應用，求一個二次函數(shù)的最值，主要分三種情況。①當自變量X可以取一切實數(shù)時，y=

2、ax2+bx+c（a≠0）的最值可用公式求得，也可以用配方法把x=-代入解析式求得。例：已知：函數(shù)y=x2-2x+3（x∈R），求函數(shù)的最值。解：由y=x2-2x+3=（x-1）2+2得：當x=1時ymin=2②當自變量x有限制條件時，要求y=ax2+bx+c（a0）的最值，主要利用數(shù)形結合法，畫出y=ax2+bx+c在限制范圍內的圖像，由圖像并結合二次函數(shù)的單調性得出最大值和最小值。同時指出作二次函數(shù)的圖像時先看開口方向，再看對稱軸的位置，然后看與x軸的交點。例：已知：y=f（x）=,當時,求函數(shù)的最大值和最小值。[思路分析：]

3、本題二次函數(shù)圖像不變，而限制條件區(qū)間在變，屬“軸定區(qū)間變”的題型，故應對區(qū)間進行分類討論，其分類方法主要按對稱軸在閉區(qū)間內、左邊、右邊討論，在閉區(qū)間左邊或右邊可以利用單調性求得，在閉區(qū)間內需要比較兩端點函數(shù)值的大小。①當，即時，由圖像知：②當時，由圖像知：③當，即時，（Ⅰ）當時，即時，由圖像知：（Ⅱ）當，即時：綜上所述：③當二次函數(shù)關系式含有參數(shù)且自變量又有限制條件時，要對參數(shù)進行討論，一般分對稱軸在限制條件內和限制條件外兩大類進行分類討論來解決問題。例：已知函數(shù)時有最大值2，求a的值。[思路分析]：由于函數(shù)對稱軸x=a位置不定，

4、并且在不同的位置產(chǎn)生的結果也不同，所以要對對稱軸的位置進行分類討論（分對稱軸在給定區(qū)間的左邊，右邊，以及在給定區(qū)間內）。本例屬于“軸變區(qū)間定”的題型。解：(1)當對稱軸x=a<0時，由圖像知：1-a=2即a=-1且滿足a<0故：a=-1(2)當對稱軸時，由圖像知：解得：(3)當對稱軸x=a>1時，由圖像知：綜上所述：a=-1或2。點評：求二次函數(shù)在閉區(qū)間[m,n]上的最值只有以下兩種情況：1．若，則在f(m),f(n),f()中，最大的一個為最大值，最小的一個為最小值。2．若，則在f(m)與f(n)中，較大的一個為最大值，較小的一

5、個為最小值。三．二次函數(shù)與對數(shù)函數(shù)，指數(shù)函數(shù)的復合函數(shù)的最值問題。（1）函數(shù)(f(x)為二次函數(shù))的最值主要是先討論二次函數(shù)f(x)的最值，然后根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調性求得函數(shù)的最值。（2）函數(shù)(f(x)為二次函數(shù))的最值，在f(x)>0的情況下同樣先討論二次函數(shù)f(x)的最值，然后根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調性求得函數(shù)的最值。四.隨堂練習1．已知函數(shù)在閉區(qū)間[0,m]上有最大值3，最小值2,則m的取值范圍是（）A.2.求函數(shù)的最小值。3．設，求函數(shù)最大值和最小值。