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《二次函數(shù)求最值.doc》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內容在教育資源-天天文庫。
1、利用二次函數(shù)求幾何圖形中的最值問題 構造二次函數(shù)來確定幾何圖形中的有關面積最大值的問題是近年來?？嫉念}型，求解這類問題，實際上，只要我們能充分運用條件，根據(jù)圖形的特點，綜合運用所學知識，如，勾股定理、全等三角形、相似三角形、解直角三角形、圖形的面積公式等等來尋求等量關系，從而構造出二次函數(shù)，再利用二次函數(shù)的性質即可求解.現(xiàn)舉例說明.例1（旅順口區(qū)中考試題）已知邊長為4的正方形截去一個角后成為五邊形ABCDE（如圖1），其中AF＝2，BF＝1．試在AB上求一點P，使矩形PNDM有最大面積.分析 設矩形PNDM的邊DN＝x，
2、NP＝y(tǒng)，則矩形PNDM的面積S＝xy（2≤x≤4），易知CN＝4－x，EM＝4－y.且有＝（作輔助線構造相似三角形），即＝，所以y＝－x+5，S＝xy＝－x2+5x（2≤x≤4），此二次函數(shù)的圖象開口向下，對稱軸為x＝5，所以當x≤5時，函數(shù)的值是隨x的增大而增大，對2≤x≤4來說，當x＝4時，S有最大值S最大＝－×42+5×4＝12.小結：本題是一道代數(shù)幾何綜合題，把相似三角形與二次函數(shù)的知識有機的結合在一起，能很好考查學生的綜合應用能力.同時，也給同學們探索解題思路留下了思維空間.例2（南京市中考試題）如圖2，在矩形
3、ABCD中，AB＝2AD，線段EF＝10.在EF上取一點M，分別以EM、MF為一邊作矩形EMNH、矩形MFGN，使矩形MFGN∽矩形ABCD.令MN＝x，當x為何值時，矩形EMNH的面積S有最大值？最大值是多少？分析 因為矩形MFGN∽矩形ABCD，所以＝，因為AB＝2AD，MN＝x，所以MF＝2x，所以EM＝EF－MF＝10－2x，所以S＝x(10－2x)＝－2x2+10x＝－2(x－)2+，所以當x＝時，S有最大值為. 小結 本題是利用相似多邊形的性質，求出矩形的邊之間的關系，再運用矩形的面積構造出二次函數(shù)的表達式，
4、使問題求解.例3（泉州市中考試題）一條隧道的截面如圖3所示，它的上部是一個以AD為直徑的半圓O，下部是一個矩形ABCD.（1）當AD＝4米時，求隧道截面上部半圓O的面積；（2）已知矩形ABCD相鄰兩邊之和為8米，半圓O的半徑為r米.①求隧道截面的面積S（米）關于半徑r（米）的函數(shù)關系式（不要求寫出r的取值范圍）；②若2米≤CD≤3米，利用函數(shù)圖象求隧道截面的面積S的最大值.（π取3.14，結果精確到0.1米）分析（1）當AD＝4米時，S半圓=π×＝π×22＝2π(米2).（2）①因為AD＝2r，AD+CD＝8，所以CD＝8
5、－AD＝8－2r，所以S＝πr2+AD·CD＝πr2+2r(8－2r)＝(π－4)r2+16r；②由①知CD＝8－2r，又因為2米≤CD≤3米，所以2≤8－2r≤3，所以2.5≤r≤3，由①知S＝(π－4)r2+16r＝(×3.14-4)r2+16r＝－2.43r2+16r＝－2.43(r－)2+，因為－2.43＜0，所以函數(shù)圖象為開口向下的拋物線，因為函數(shù)圖象對稱軸r＝≈3.3.又2.5≤r≤3＜3.3，由函數(shù)圖象的性質可知，在對稱軸左側S隨r的增大而增大，故當r＝3時，S有最大值，S最大值＝(π－4)×32+16×3≈
6、(×3.14－4)×9+48＝26.13≈26.1(米2).即隧道截面面積S的最大值約為26.1米2.小結 本題是一道典型的代數(shù)與幾何的綜合題，集圖形的面積、不等式與二次函數(shù)的知識有機的結合在一起，有助于培養(yǎng)同學們的綜合應用能力.例4（陜西中考課改試題）王師傅有兩塊板材邊角料，其中一塊是邊長為60cm的正方形板子；另一塊是上底為30cm，下底為120cm，高為60cm的直角梯形板子（如圖4），王師傅想將這兩塊板子裁成兩塊全等的矩形板材.他將兩塊板子疊放在一起，使梯形的兩個直角頂點分別與正方形的兩個頂點重合，兩塊板子的重疊部
7、分為五邊形ABCDE圍成的區(qū)域（如圖5），由于受材料紋理的限制，要求裁出的矩形要以點B為一個頂點.（1）求FC的長；（2）利用如圖5求出矩形頂點B所對的頂點到BC邊的距離x(cm)為多少時，矩形的面積最大？最大面積時多少？（3）若想使裁出的矩形為正方形，試求出面積最大的正方形的邊長.分析（1）由題意，得△DEF∽△CGF，＝，即，所以FC＝40(cm).（2）如圖5，設矩形頂點B所對頂點為P，則①當頂點P在AE上時，x＝60，y的最大值為60×30＝1800(cm2)；②當頂點P在EF上時，過點P分別作PN⊥BG于點N，P
8、M⊥AB于點M.根據(jù)題意，得△GFC∽△GPN，所以，所以NG＝x，所以BN＝120－x，所以y＝x(120－x)＝－(x－40)2+2400，所以當x＝40時，y的最大值為2400(cm2)；③當頂點P在FC上時，y的最大值為60×40＝2400(cm2).綜合①②③，得x＝40cm時，矩形的面積最大
