古典概型和幾何概型

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1、1.3等可能概型（古典概型）與幾何概型一、古典概型的定義設(shè)隨機(jī)實(shí)驗(yàn)E滿足下列條件1.有限性：試驗(yàn)的樣本空間只有有限個(gè)樣本點(diǎn)（即只有有限個(gè)可能的結(jié)果），即S＝{e1,e2,…,en};2.等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)（或結(jié)果）的發(fā)生是等可能的，即P(e1)=P(e2)=…=P(en)。則稱此試驗(yàn)E為古典概型，也叫等可能概型。設(shè)事件A中所含樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為N(A)=k，以N(S)=n記樣本空間S中樣本點(diǎn)總數(shù)，則有P(A)具有如下性質(zhì)：(1)0?P(A)??1；(2)P(S)＝1；P(?)=0；(3)AB＝?，則P(A∪B)＝P(A)＋

2、P(B)。二、古典概型中的概率：解設(shè)A--至少有一個(gè)男孩,以H表示某個(gè)孩子是男孩，T表示某個(gè)孩子是女孩。S={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT}A={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT}例1.6有三個(gè)子女的家庭,設(shè)每個(gè)孩子是男是女的概率相等,則至少有一個(gè)男孩的概率是多少?例1.7在盒子里有10個(gè)相同的球，分別標(biāo)上號碼1，2，…，10。從中任取一球，求此球的號碼為偶數(shù)的概率。解設(shè)m表示所取的球的號碼為m(m=1,2,…,10)，則試驗(yàn)的樣本空間為S={1,2,…,10}，

3、因此基本事件總數(shù)n=10。又設(shè)A表示“所取的球號碼為偶數(shù)”這一事件，則A={2,4,6,8,10}，所以A中含有k=5個(gè)樣本點(diǎn)，故乘法原理設(shè)完成一件事需分兩步，第一步有n1種方法,第二步有n2種方法，則完成這件事共有n1n2種方法三、計(jì)算古典概率的方法：排列與組合加法原理設(shè)完成一件事可有兩種途徑，第一種途徑有n1種方法，第二種途徑有n2種方法，則完成這件事共有n1+n2種方法。有重復(fù)排列從含有n個(gè)元素的集合中隨機(jī)抽取k次，每次取一個(gè)，記錄其結(jié)果后放回，將記錄結(jié)果排成一列，nnnn共有nk種排列方式.無重復(fù)排列從含有n個(gè)

4、元素的集合中隨機(jī)抽取k次，每次取一個(gè)，取后不放回，將所取元素排成一列，共有Pnk=n(n-1)…(n-k+1)種排列方式.nn-1n-2n-k+1組合從含有n個(gè)元素的集合中隨機(jī)抽取k個(gè)，共有種取法.四、古典概型的基本類型舉例古典概型的計(jì)算關(guān)鍵在于計(jì)算基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù)。由于樣本空間的設(shè)計(jì)可由各種不同的方法，因此古典概率的計(jì)算就變得五花八門、紛繁多樣。但可歸納為如下幾種基本類型。1、抽球問題例1.8設(shè)盒中有3個(gè)白球，2個(gè)紅球，現(xiàn)從盒中任抽2個(gè)球，求取到一紅球一白球的概率。解設(shè)A——取到一紅球一白球答:

5、取到一紅一白的概率為3/5。一般地，設(shè)盒中有N個(gè)球，其中有M個(gè)白球，現(xiàn)從中任抽n個(gè)球，則這n個(gè)球中恰有k個(gè)白球的概率是例1.9某箱中裝有m+n個(gè)球，其中m個(gè)白球，n個(gè)黑球。(1)從中任意抽取r+s個(gè)球，試求所取的球中恰好有r個(gè)白球和s個(gè)黑球的概率；解試驗(yàn)E：從m+n球中取出r+s個(gè)，每r+s個(gè)球構(gòu)成E的一個(gè)基本事件，不同的基本事件總數(shù)為設(shè)事件A：“所取的球中恰好有r個(gè)白球和s個(gè)黑球”，總共有多少個(gè)基本事件呢？所以，事件A發(fā)生的概率為(2)從中任意接連取出k+1(k+1≤m+n)個(gè)球，如果每一個(gè)球取出后不還原，試求最后

6、取出的球是白球的概率。解試驗(yàn)E：從m+n球中接連地不放回地取出k+1個(gè)球每k+1個(gè)排好的球構(gòu)成E的一個(gè)基本事件，不同的基本事件總數(shù)為設(shè)事件B：“第k+1個(gè)取出的球是白球”，由于第k+1個(gè)球是白球，可先從m個(gè)白球中取一個(gè)留下來作為第k+1個(gè)球，一共有其余k個(gè)球可以是余下的m+n-1個(gè)球中任意k個(gè)球的排列，總數(shù)為種保留下來的取法，事件B所包含的基本事件總數(shù)為所以最后所取的球是白球的概率為注：P(B)與k無關(guān)，即不論是第幾次抽取，抽到白球的概率均為在實(shí)際中，有許多問題的結(jié)構(gòu)形式與抽球問題相同，把一堆事物分成兩類，從中隨機(jī)地抽

7、取若干個(gè)或不放回地抽若干次，每次抽一個(gè)，求“被抽出的若干個(gè)事物滿足一定要求”的概率。如產(chǎn)品的檢驗(yàn)、疾病的抽查、農(nóng)作物的選種等問題均可化為隨機(jī)抽球問題。我們選擇抽球模型的目的在于是問題的數(shù)學(xué)意義更加突出，而不必過多的交代實(shí)際背景。2、分球入盒問題解設(shè)A：每盒恰有一球，B：空一盒例1.10將3個(gè)球隨機(jī)的放入3個(gè)盒子中去，問：（1）每盒恰有一球的概率是多少？（2）空一盒的概率是多少？一般地，把n個(gè)球隨機(jī)地分配到N個(gè)盒子中去(n?N)，則每盒至多有一球的概率是：例1.11設(shè)有n個(gè)顏色互不相同的球，每個(gè)球都以概率1/N落在N(n

8、≤N)個(gè)盒子中的每一個(gè)盒子里，且每個(gè)盒子能容納的球數(shù)是沒有限制的，試求下列事件的概率：A={某指定的一個(gè)盒子中沒有球}B={某指定的n個(gè)盒子中各有一個(gè)球}C={恰有n個(gè)盒子中各有一個(gè)球}D={某指定的一個(gè)盒子中恰有m個(gè)球}(m≤n)解把n個(gè)球隨機(jī)地分配到N個(gè)盒子中去(n≤N),總共有Nn種放法。即基本事件總數(shù)為Nn。事件A：指定的