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1、第五講常微分方程一、一階微分方程二、二階線性微分方程一、一階微分方程1.微分方程的概念2.可分離變量的方程3.一階線性微分方程定義1.理解微分方程的定義，理解微分方程的階、解、通解、初始條件和特解。含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程稱為微分方程.例如:(其中p(x),q(x)為已知函數(shù))(m,k,g為常數(shù))未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程稱為常微分方程.例如:(其中p(x),q(x)為已知函數(shù))(m,k,g為常數(shù))未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程稱為常微分方程.方程中未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)稱為微分方程的階數(shù).一階方程:二階方程:2.掌握可分離變量方程的解法。形如的方程
2、稱為可分離變量方程將左式兩邊積分即得其通解或(即變量x,y可分離).例:求方程的通解.例:求初值問題的特解.例:求方程的通解.練(2006年高數(shù)二)求微分方程滿足初始條件y(0)=1的特解.練(2006年高數(shù)一)求微分方程的通解.題型一：求分離變量方程.練(2007年高數(shù)二)設(shè)f(x)在具有連續(xù)導(dǎo)數(shù),且滿足方程求f(x).3.掌握一階線性方程的解法形如(p(x),q(x)為已知函數(shù))的方程,或化為的方程都稱為一階線性微分方程.注:都不是一階線性微分方程.(y和都是一次的)3.掌握一階線性方程的解法形如(p(x),q(x)為已知函數(shù))的方程,或化為的方程都稱為
3、一階線性微分方程.當(dāng)q(x)=0時,稱為一階齊次線性方程.稱為一階非齊次線性方程.當(dāng)時,例:求非齊次線性微分方程的通解.一階線性非齊次方程通解公式:例:求非齊次線性微分方程的通解.一階線性非齊次方程通解公式:例:求初值問題的特解.練(2005年高數(shù)二)求微分方程的通解.練(2007年高數(shù)二)求解微分方程題型二：一階線性微分方程二、二階線性微分方程1.二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)2.二階常系數(shù)齊次線性微分方程3.二階常系數(shù)非齊次線性微分方程1.了解二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)形如的微分方程稱為二階線性微分方程.注:都不是二階線性微分方程.(y,都是一次的)形如的微分方
4、程稱為二階線性微分方程.(y,都是一次的)當(dāng)f(x)=0時,稱為二階齊次線性微分方程.當(dāng)時,稱為二階非齊次線性微分方程.1.了解二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)的線性無關(guān)的解則原方程的通解為c1,c2為任意常數(shù).二階齊次線性方程解的結(jié)構(gòu)若是方程(即y1(x)與y2(x)不成比例),的通解為其中二階非齊次線性方程解的結(jié)構(gòu)二階非齊次線性方程為對應(yīng)的齊次方程的通解,為非齊次方程的任一個特解.問:若Y1(x),Y2(x)是非齊次方程的兩個解,則Y1-Y2是此方程的解嗎?題型三：二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu).例已知非齊次方程的三個特解為試求該方程的通解.例已知非齊次方程的兩個特解
5、為且此方程的對應(yīng)齊次方程的一個解為x,試求非齊次方程的通解.練(2007年高數(shù)二)若y=xsinx,y=sinx分別為非齊次線性方程的解,則y=(x+1)sinx為下列方程中()的解:(A)(B)(C)(D)2.掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法其中a,b,c均為常數(shù).方程稱為方程(1)的特征方程.(1)特征方程(2)的根稱為方程的特征根.(2)二階常系數(shù)齊次線性微分方程：特征方程設(shè)r1,r2為方程(2)的兩個特征根,(2)1)當(dāng)r1,r2為兩個相異的實根時,原方程的通解為2)當(dāng)r1=r2=r時,原方程的通解為3)原方程的通解為例:求齊次方程的通解.例:求
6、初值問題的解.題型四：二階常系數(shù)齊次線性微分方程.例:求齊次方程的通解.練(2006年高數(shù)二)微分方程的通解為___________練(2007年高數(shù)一)任給有理數(shù)a,函數(shù)f(x)滿足求f(x).練(2008年高數(shù)二)求微分方程的通解.其中的通解為為對應(yīng)的齊次方程的通解,為非齊次方程的任一個特解.3.掌握二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法二階常系數(shù)非齊次線性微分方程：例:例:求微分方程的通解.題型五：二階常系數(shù)非齊次線性微分方程.求微分方程的解.練(2008年高數(shù)一)求微分方程的通解.練(2006年高數(shù)二)若函數(shù)求f(x).練(2006年高數(shù)一)求微分方程滿
7、足的特解.練(2007年高數(shù)二)求微分方程的通解.練習(xí):練習(xí)解答:練習(xí):綜合練習(xí)1.判別級數(shù)的斂散性.2.將在x=1處展開成泰勒級數(shù).3.設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù),且滿足求f(x).4.求方程的通解.綜合練習(xí)5.求6.求7.設(shè)求并討論是否存在.8.計算積分綜合練習(xí)10.設(shè)求9.計算下列積分.綜合練習(xí)解答1.判別級數(shù)的斂散性.2.將在x=1處展開成泰勒級數(shù).取級數(shù),用比較判別法,得到原級數(shù)收斂.綜合練習(xí)解答3.設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù),且滿足求f(x).4.求方程的通解.通解為:綜合練習(xí)解答5.6.綜合練習(xí)解答7.設(shè)求并討論是否存在.當(dāng)x≠0時,不存在.綜合練習(xí)解答8
8、.計算積分綜合練習(xí)解答9.計算下列積分.(1)令則綜
