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1、淺析分段函數林政剛(福建省惠安嘉惠中學,362100)分段函數是高中數學中常見的一類函數表達形式,在現實生活中有廣泛的應用價值,而課本中沒冇單獨進行介紹，在平時教學和考試中卻經常遇到，特別足奇考中常常出現.學生在學習、理解和應用分段函數時存在一些困難.分段函數是對自變蜀的不同取值范圍,有不完全相同的對應法則的函數.分段函數的各段合并成一個整體，其函數的定義域是各段自變量取值范圍的并集，函數的值域是各段函數值域的并集.本文舉例介紹分段函數一些類型與解題方法，希望對學習者有所幫助.一、求分段函數值求分段函數的值時，一定要認真分析口變世所在的區(qū)間，因為各段上的解析式是不相同的.
2、例1艮心)二『穴學次則llog3(d-1)產M2,/(/(2))的值為()(A)0(B)l(C)2(D)3分析/(2)=log3(22?1)=1.又??T<2,??./(l)=2e,_,=2.故/(/(2))=/(l)=2,選C?二、求分段函數的解析式故硬幣落下后與格線有公共點的概率?62_9*2.有限區(qū)域例6在地上畫一正方形線框，其邊長等于6cm,現用直徑等于2cm的硬幣投向方框,硬幣完全落在正方形外的不計，求硬幣完全落入正方形內的概率.分析因硬幣完全落在正方形外的悄況不計，故只?？紤]碩幣的圓心均勻地分布在如圖10所示的“曲邊正方形”內，具中仙CD是邊長為6的正方形，它
3、的四周是四個+圓及四個矩形且BE=1.當且僅當硬幣圓心落入邊長為4的正方形出QG0內時，硬幣才完全落入正方形ABCD內.設“硬幣完全落入正方形內”為事件仏則P⑷=個_s鬃心=例5與例6這兩個問題看起來很類似，但例5的網格有無限多，只要考慮硬幣與一個正方形內切，不考慮外切.若考慮硬幣部分落在一個正方形外，實則又落到了另外的正方形內.例6中只有一個正方形，必須考慮硬幣與正方形內外切兩種悄況，否則就不包括換幣部分落在形外，顯然不全面.那么如何區(qū)分是有限問題還足無限問題呢？英實很簡單，有限問題一般有這樣的提示：“完全落在形外的不計"?容易記吧！的定義域，函數在各段自變量的取值范圍
4、.(A)y例2(2005年上海高考題)對定義域分別是0,2的函數7=/(^),y=g(x),規(guī)定：(B)y函數h(兀)=rf(x)?g(x),當％eD/IixeDkf(x),當尤wD/口久$D—(C)yg(%),當力GE且xeDg?(1)若函數/(切=,g(%)=x,寫X-I(D)y出西數人(第)的解析式；分析在求分段函數的解析式時，應注意函數x,x<0r2x,%^0IJ■裳、x<0=卩"0I-J■x、x<0r2x,xM0l-<0當久MO時』=2%可求出它的反尤W(-8」)U(l,+8),例4函數y=/(X)=/(x)分析先分別求出7=f(x)，/=g(x)的定義域,再根
5、據規(guī)定求出函數人(久)的解析式.解(1)人&)=x=L例3已知函數/(兀)=x2-2%+3,將/(x)在［從+1］上的最小值記為g(t),試求g(f)的表達式.分析按函數y=/(x)圖象的對稱軸兀=1與區(qū)間+1］的位置關系，分三種情形進行討論：當對稱軸在區(qū)間右側時，g(f)=f(t+1)二『+2；當對稱軸在區(qū)間內時,g(f)=/(x)的最小值為/(I)=2；當對稱軸在區(qū)間左側時，g(f)=/(0=z2-2t+3.,t2+2Q<0),???g(t)=2(0W上W1),t2-2t+3(t>1).三.求分段函數的反函數求分段函數的反函數，可在定義域各段區(qū)間內求它的反兩數，若在某
6、個區(qū)間上不是，一一映射，則函數不存在反函數.2甞=°，的反函數是-x,x<0函數為y=寺(20)；同理可求八0時的反函數，選C.四、解含分段函數的不等式對于分段函數型的不等式，用分類討論的思想進行求解，即分段求解集，然后求它們的并集.例5已知函數,%W1,(x2-1),x>1,求不等式/(切M2的解集.分析因為給定函數的自變量在不同的范圍時，函數的表達式不同，所以在解不等式時,應分區(qū)間討論，在各個區(qū)間上求出不等式的解集，再求它們的并集.解(1)當%^1時，不等式/匕)M2即為e"M2,解得第MIn2+1，于是原不等式無解.(2)當x>1時gM2即為log"-1)M2,解得
7、尤M丿幣或力W-庾，于是原不等式的解為％M/10：綜上，原不等式的解集為(/10,+00).五、分段函數的單調性在判斷、求分段函數的單調區(qū)間時，應進行分段求解，若不是連續(xù)的單調區(qū)間，要分開表達，不能將它們用并集的形式表述.例6已知函數圧(-00,+00)上的減函數，那么。的取值范?13?J(3a-1)x+4atx<1tIlog*xM1圍是()(A)(O,I)(B)(0,y)(C)［于，寺)(D)&」).分析要使函數/(*)在(-00,+00)±為減函數，依題意可知，當*Ml時.0
