第3章 MATLAB矩陣分析與處理

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1、第3章MATLAB矩陣分析與處理3.1特殊矩陣3.2矩陣結(jié)構(gòu)變換3.3矩陣求逆與線性方程組求解3.4矩陣求值3.5矩陣的特征值與特征向量3.6矩陣的超越函數(shù)3.1特殊矩陣3.1.1通用的特殊矩陣常用的產(chǎn)生通用特殊矩陣的函數(shù)有：zeros：產(chǎn)生全0矩陣(零矩陣)。ones：產(chǎn)生全1矩陣(幺矩陣)。eye：產(chǎn)生單位矩陣。rand：產(chǎn)生0～1間均勻分布的隨機矩陣。randn：產(chǎn)生均值為0，方差為1的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機矩陣。例3.1分別建立3×3、3×2和與矩陣A同樣大小的零矩陣。(1)建立一個3×3零矩陣。zeros(3)(2)建立一個3×2零矩陣。zeros(3,2)(3)設(shè)A為2×3矩

2、陣，則可以用zeros(size(A))建立一個與矩陣A同樣大小零矩陣。A=[123;456];%產(chǎn)生一個2×3階矩陣Azeros(size(A))%產(chǎn)生一個與矩陣A同樣大小的零矩陣?yán)?.2建立隨機矩陣：(1)在區(qū)間[20,50]內(nèi)均勻分布的5階隨機矩陣。(2)均值為0.6、方差為0.1的5階正態(tài)分布隨機矩陣。命令如下：x=20+(50-20)*rand(5)y=0.6+sqrt(0.1)*randn(5)此外，常用的函數(shù)還有reshape(A,m,n)，它在矩陣總元素保持不變的前提下，將矩陣A重新排成m×n的二維矩陣。3.1.2用于專門學(xué)科的特殊矩陣(1)魔方矩陣魔方矩陣有一個有

3、趣的性質(zhì)，其每行、每列及兩條對角線上的元素和都相等。對于n階魔方陣，其元素由1,2,3,…,n2共n2個整數(shù)組成。MATLAB提供了求魔方矩陣的函數(shù)magic(n)，其功能是生成一個n階魔方陣。例3.3將101~125等25個數(shù)填入一個5行5列的表格中，使其每行每列及對角線的和均為565。M=100+magic(5)(2)范得蒙矩陣范得蒙(Vandermonde)矩陣最后一列全為1，倒數(shù)第二列為一個指定的向量，其他各列是其后列與倒數(shù)第二列的點乘積?？梢杂靡粋€指定向量生成一個范得蒙矩陣。在MATLAB中，函數(shù)vander(V)生成以向量V為基礎(chǔ)向量的范得蒙矩陣。例如，A=vander([

4、1;2;3;5])即可得到上述范得蒙矩陣。(3)希爾伯特矩陣在MATLAB中，生成希爾伯特矩陣的函數(shù)是hilb(n)。使用一般方法求逆會因為原始數(shù)據(jù)的微小擾動而產(chǎn)生不可靠的計算結(jié)果。MATLAB中，有一個專門求希爾伯特矩陣的逆的函數(shù)invhilb(n)，其功能是求n階的希爾伯特矩陣的逆矩陣。例3.4求4階希爾伯特矩陣及其逆矩陣。命令如下：formatrat%以有理形式輸出H=hilb(4)H=invhilb(4)(4)托普利茲矩陣托普利茲(Toeplitz)矩陣除第一行第一列外，其他每個元素都與左上角的元素相同。生成托普利茲矩陣的函數(shù)是toeplitz(x,y)，它生成一個以x

5、為第一列，y為第一行的托普利茲矩陣。這里x,y均為向量，兩者不必等長。toeplitz(x)用向量x生成一個對稱的托普利茲矩陣。例如T=toeplitz(1:6)(5)伴隨矩陣MATLAB生成伴隨矩陣的函數(shù)是compan(p)，其中p是一個多項式的系數(shù)向量，高次冪系數(shù)排在前，低次冪排在后。例如，為了求多項式的x3-7x+6的伴隨矩陣，可使用命令：p=[1,0,-7,6];compan(p)(6)帕斯卡矩陣我們知道，二次項(x+y)n展開后的系數(shù)隨n的增大組成一個三角形表，稱為楊輝三角形。由楊輝三角形表組成的矩陣稱為帕斯卡(Pascal)矩陣。函數(shù)pascal(n)生成一個n階帕斯卡矩陣

6、。例3.5求(x+y)5的展開式。在MATLAB命令窗口，輸入命令：pascal(6)矩陣次對角線上的元素1,5,10,10,5,1即為展開式的系數(shù)。3.2矩陣結(jié)構(gòu)調(diào)整變換3.2.1對角陣與三角陣1．對角陣只有對角線上有非0元素的矩陣稱為對角矩陣，對角線上的元素相等的對角矩陣稱為數(shù)量矩陣，對角線上的元素都為1的對角矩陣稱為單位矩陣。(1)提取矩陣的對角線元素設(shè)A為m×n矩陣，diag(A)函數(shù)用于提取矩陣A主對角線元素，產(chǎn)生一個具有min(m,n)個元素的列向量。diag(A)函數(shù)還有一種形式diag(A,k)，其功能是提取第k條對角線的元素。(2)構(gòu)造對角矩陣設(shè)V為具有m個元素

7、的向量，diag(V)將產(chǎn)生一個m×m對角矩陣，其主對角線元素即為向量V的元素。diag(V)函數(shù)也有另一種形式diag(V,k)，其功能是產(chǎn)生一個n×n(n=m+

8、k

9、)對角陣，其第k條對角線的元素即為向量V的元素。例3.6先建立5×5矩陣A，然后將A的第一行元素乘以1，第二行乘以2，…，第五行乘以5。A=[17,0,1,0,15;23,5,7,14,16;4,0,13,0,22;10,12,19,21,3;...11,18,2