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1、第3章MATLAB矩陣分析與處理3.1特殊矩陣3.2矩陣結(jié)構(gòu)變換3.3矩陣求逆與線性方程組求解3.4矩陣求值3.5矩陣的特征值與特征向量3.6矩陣的超越函數(shù)MATLAB強(qiáng)大的計(jì)算能力以矩陣運(yùn)算為基礎(chǔ)。3.1特殊矩陣3.1.1通用的特殊矩陣常用的產(chǎn)生通用特殊矩陣的函數(shù)有：zeros：產(chǎn)生全0矩陣(零矩陣)。ones：產(chǎn)生全1矩陣(幺矩陣)。eye：產(chǎn)生單位矩陣。rand：產(chǎn)生0～1間均勻分布的隨機(jī)矩陣。randn：產(chǎn)生均值為0，方差為1的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)矩陣。通用的特殊矩陣用于專門學(xué)科的特殊矩陣?yán)?.1分別建立3×3、3×2和與矩陣A同樣大小的零矩陣。建立一個3×3零矩陣。zero
2、s(3)建立一個3×2零矩陣。zeros(3,2)設(shè)A為2×3矩陣，則可以用zeros(size(A))建立一個與矩陣A同樣大小零矩陣。A=[123;456];%產(chǎn)生一個2×3階矩陣Azeros(size(A))%產(chǎn)生一個與矩陣A同樣大小的零矩陣(2)均值為0.6、方差為0.1的5階正態(tài)分布隨機(jī)矩陣。 命令如下：y=0.6+sqrt(0.1)*randn(5）例3.2建立隨機(jī)矩陣： (1)在區(qū)間[20,50]內(nèi)均勻分布的5階隨機(jī)矩陣。x=20+(50-20)*rand(5)reshape(A,m,n)，它在矩陣總元素保持不變（存儲結(jié)構(gòu)不變）的前提下，將矩陣A重新排成m×n的二維矩
3、陣。3.1.2用于專門學(xué)科的特殊矩陣(1)魔方矩陣魔方矩陣有一個有趣的性質(zhì)，其每行、每列及兩條對角線上的元素和都相等。對于n階魔方陣，其元素由1,2,3,…,n2共n2個整數(shù)組成。MATLAB提供了求魔方矩陣的函數(shù)magic(n)，其功能是生成一個n階魔方陣。例3.3將101~125等25個數(shù)填入一個5行5列的表格中，使其每行每列及對角線的和均為565。M=100+magic(5)(2)范得蒙矩陣范得蒙(Vandermonde)矩陣最后一列全為1，倒數(shù)第二列為一個指定的向量，其他各列是其后列與倒數(shù)第二列的點(diǎn)乘積?？梢杂靡粋€指定向量生成一個范得蒙矩陣。在MATLAB中，函數(shù)vand
4、er(V)生成以向量V為基礎(chǔ)向量的范得蒙矩陣。例如，A=vander([1;2;3;5])即可得到上述范得蒙矩陣。(3)希爾伯特矩陣使用一般方法求逆會因?yàn)樵紨?shù)據(jù)的微小擾動而產(chǎn)生不可靠的計(jì)算結(jié)果。MATLAB中，有一個專門求希爾伯特矩陣的逆的函數(shù)invhilb(n)，其功能是求n階的希爾伯特矩陣的逆矩陣。例3.4求4階希爾伯特矩陣及其逆矩陣。 命令如下：formatrat%以有理形式輸出H=hilb(4) H=invhilb(4)在MATLAB中，生成希爾伯特矩陣的函數(shù)是hilb(n)。(4)托普利茲矩陣托普利茲(Toeplitz)矩陣除第一行第一列外，其他每個元素都與左上角的元
5、素相同。toeplitz(x,y)：生成托普利茲矩陣的函數(shù)，它生成一個以x為第一列，y為第一行的托普利茲矩陣。這里x,y均為向量，兩者不必等長。toeplitz([1234],[1678])toeplitz(x)：用向量x生成一個對稱的托普利茲矩陣。例如T=toeplitz(1:6)(5)伴隨矩陣p(x)=0的根是A的特征值.MATLAB生成伴隨矩陣的函數(shù)是compan(p)，其中p是一個多項(xiàng)式的系數(shù)向量，高次冪系數(shù)排在前，低次冪排在后。例如，為了求多項(xiàng)式的x3-7x+6的伴隨矩陣，可使用命令：p=[1,0,-7,6];compan(p)p(x)是A的特征多項(xiàng)式(6)帕斯卡矩陣我
6、們知道，二次項(xiàng)(x+y)n展開后的系數(shù)隨n的增大組成一個三角形表，稱為楊輝三角形。由楊輝三角形表組成的矩陣稱為帕斯卡(Pascal)矩陣。函數(shù)pascal(n)生成一個n階帕斯卡矩陣。例3.5求(x+y)5的展開式。 在MATLAB命令窗口，輸入命令：pascal(6)矩陣次對角線上的元素1,5,10,10,5,1即為展開式的系數(shù)。3.2矩陣結(jié)構(gòu)調(diào)整變換3.2.1對角陣與三角陣1．對角陣對角矩陣:只有對角線上有非0元素的矩陣稱為對角矩陣;數(shù)量矩陣:對角線上的元素相等的對角矩陣稱為數(shù)量矩陣;單位矩陣:對角線上的元素都為1的對角矩陣稱為單位矩陣。(1)提取矩陣的對角線元素設(shè)A為m×n
7、矩陣，diag(A)函數(shù)用于提取矩陣A主對角線元素，產(chǎn)生一個具有min(m,n)個元素的列向量。diag(A)函數(shù)還有一種形式diag(A,k)，其功能是提取第k條對角線的元素。(2)構(gòu)造對角矩陣設(shè)V為具有m個元素的向量，diag(V)將產(chǎn)生一個m×m對角矩陣，其主對角線元素即為向量V的元素。diag(V)函數(shù)也有另一種形式diag(V,k)，其功能是產(chǎn)生一個n×n(n=m+
8、k
9、)對角陣，其第k條對角線的元素即為向量V的元素。例3.6先建立5×5矩陣A，然后將A的第一行元素乘以
